Números y álgebra

Matemáticas I · Unidad 1

Resolver no es transformar símbolos: es conservar el conjunto de soluciones.

Lecciones del tema

Resumen y esquema de decisión

Formulario del tema

Números reales, intervalos y valor absoluto

$$|x-a|\le r⟺a-r\le x\le a+r(r\ge 0)$$

$$|x-a|\ge r⟺x\le a-r\text{o}x\ge a+r$$

Potencias, radicales y logaritmos

$$a^m{a}^n=a^{m+n}(a>0)$$

$${\log }_b(uv)={\log }_{b}u+{\log }_{b}v(u,v>0)$$

$${\log }_{b}a=\frac{\ln a}{\ln b}(a>0,b>0,b\ne 1)$$

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}(a\ne 0)$$

$$AB=0⟺A=0\text{o}B=0$$

Refuerzo 1 · Recuperación activa

Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.

¿Cuándo se invierte una desigualdad?

Al multiplicar o dividir ambos miembros por una cantidad negativa.

¿Cómo se simplifica a^(−n)?

Como 1/a^n, siempre que a≠0.

¿Qué significa resolver un sistema?

Encontrar valores que satisfagan simultáneamente todas sus ecuaciones.

Refuerzo 2 · Detecta el error

Refuerzo 3 · Reto de transferencia

Refuerzo 4 · Minitest mixto

Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.

¿Qué intervalo representa x<2?

1. (−∞,2)
2. [−∞,2]
3. (−∞,2]

Solución y explicación

Respuesta: (−∞,2). La desigualdad es estricta y el infinito siempre lleva paréntesis.

log₁₀(1000) vale…

1. 3
2. 100
3. 10

Solución y explicación

Respuesta: 3. 10³=1000.

En una fracción algebraica, un cero del denominador…

1. Se admite si la desigualdad lleva igual
2. Se excluye siempre
3. Es una solución doble

Solución y explicación

Respuesta: Se excluye siempre. La expresión original no está definida en ese punto.

La intersección de [0,4] y (2,6) es…

1. [0,6)
2. (2,4]
3. [2,4]

Solución y explicación

Respuesta: (2,4]. Hay que cumplir las dos pertenencias; el 2 queda fuera del segundo conjunto.

¿Cuál es la identidad válida para todo x real?

1. √(x²)=x
2. √(x²)=|x|
3. √(x²)=−x

Solución y explicación

Respuesta: √(x²)=|x|. La raíz cuadrada devuelve un resultado no negativo.

Una cuadrática con discriminante negativo tiene…

1. Dos raíces reales
2. Una raíz real
3. Ninguna raíz real

Solución y explicación

Respuesta: Ninguna raíz real. La raíz cuadrada de un número negativo no es real.

Si |x−3|=2, las soluciones son…

1. Solo 5
2. −2 y 2
3. 1 y 5

Solución y explicación

Respuesta: 1 y 5. Los puntos a distancia 2 del centro 3 son 3−2 y 3+2.

El dominio real de ln(4−x) es…

1. x≥4
2. Todos los reales
3. x<4

Solución y explicación

Respuesta: x<4. El argumento debe ser estrictamente positivo: 4−x>0.

Al elevar una ecuación al cuadrado…

1. Hay que comprobar los candidatos
2. Siempre se conserva exactamente el conjunto de soluciones
3. Se elimina el dominio

Solución y explicación

Respuesta: Hay que comprobar los candidatos. Se puede perder la información del signo y aparecer soluciones extra.

Refuerzo 5 · Flashcards del tema

Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.

¿Qué representa |x−a|?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

La distancia entre x y a en la recta real.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cuándo se invierte una desigualdad?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Al multiplicar o dividir ambos miembros por una cantidad negativa.

Intenta responder antes de mirar.

¿Se usa un corchete junto a infinito?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

No. El infinito no es un extremo real incluido.

Intenta responder antes de mirar.

¿Unión o intersección para cumplir dos restricciones simultáneamente?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Intersección: deben cumplirse las dos.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué significa log_b(a)=c?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Que b^c=a; se requiere a>0, b>0 y b≠1.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo se simplifica a^(−n)?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Como 1/a^n, siempre que a≠0.

Intenta responder antes de mirar.

¿Se puede descomponer ln(a+b)?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

No mediante la regla del producto; la suma dentro del logaritmo no se separa.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cuándo se comprueban las soluciones logarítmicas?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Al final, en las restricciones y en la ecuación original.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué puntos se usan en una tabla de signos racional?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Ceros del numerador y ceros del denominador, conservando las exclusiones originales.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué significa resolver un sistema?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Encontrar valores que satisfagan simultáneamente todas sus ecuaciones.

Intenta responder antes de mirar.

¿Por qué comprobar tras elevar al cuadrado?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Porque la ecuación transformada puede admitir candidatos que no cumplen la inicial.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué indica el discriminante cero?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Una raíz real doble en una ecuación cuadrática con a≠0.

Intenta responder antes de mirar.

Mi registro de errores

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Fuentes y revisión editorial

Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.

• Real Decreto 243/2022, texto consolidado: enseñanzas mínimas de Bachillerato
• Orden de 30 de mayo de 2023: currículo de Bachillerato en Andalucía