Matemáticas I · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Límites y continuidad
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Interpretación de límites y cálculo
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Ejercicio 1. Calcula lim(x→1)(x²+2x+3).
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Pista: Es un polinomio continuo.
Solución: La sustitución directa da 1+2+3=6.
Ejercicio 2. Una función vale −1 para x<0 y 1 para x≥0. ¿Tiene límite bilateral en 0?
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Pista: Compara los dos lados.
Solución: El límite por la izquierda es −1 y por la derecha 1. Como son diferentes, no existe el límite bilateral, aunque f(0)=1 sí está definido.
Ejercicio 3. Calcula el límite de a_n=(2n+1)/(n+1).
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Pista: Divide numerador y denominador por n.
Solución: a_n=(2+1/n)/(1+1/n), que tiende a 2. El valor 2 es una aproximación límite, no necesariamente un término de la sucesión.
Indeterminaciones y asíntotas
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Ejercicio 4. Calcula lim(x→3)(x²−9)/(x−3).
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Pista: Factoriza la diferencia de cuadrados.
Solución: Para x≠3 la expresión es x+3. Su límite es 6; en x=3 hay un hueco, no una asíntota vertical.
Ejercicio 5. Encuentra la asíntota horizontal de (2x+1)/(x−4).
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Pista: Compara coeficientes de los términos de grado uno.
Solución: El límite en ambos extremos es 2. La asíntota horizontal es y=2.
Ejercicio 6. Calcula lim(x→0)(√(1+x)−1)/x.
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Pista: Racionaliza el numerador.
Solución: La expresión se transforma en 1/(√(1+x)+1) para x≠0. Al sustituir en la transformada, el límite es 1/2.
Continuidad y funciones a trozos
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Ejercicio 7. Estudia la continuidad de |x| en cero.
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Pista: Calcula cada lateral y el valor.
Solución: Por ambos lados |x| tiende a cero y f(0)=0. Es continua en cero, aunque su derivabilidad es otra cuestión.
Ejercicio 8. f(x)=x+1 para x<0 y f(x)=2x+3 para x≥0. Clasifica lo que ocurre en cero.
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Pista: Los límites laterales son finitos.
Solución: El izquierdo es 1 y el derecho es 3; f(0)=3. Hay un salto y no se elimina cambiando únicamente f(0).
Ejercicio 9. Justifica que x³+x−1 tiene alguna raíz en (0,1).
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Pista: Comprueba continuidad y cambio de signo.
Solución: Es un polinomio, por tanto continuo en [0,1]. Sus valores son −1 en 0 y 1 en 1. Por el teorema del valor intermedio existe al menos una raíz entre ambos.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.