Tres ideas para ver el tema con claridad
Matemáticas I · Unidad 7
Derivar da una tasa instantánea; optimizar exige interpretar el signo y el dominio.
Lecciones del tema
Resumen y esquema de decisión
Derivar da una tasa instantánea; optimizar exige interpretar el signo y el dominio.
- Traduce el problema a una función con dominio.
- Aplica la regla adecuada: suma, producto, cociente o cadena.
- Localiza candidatos interiores y fronteras.
- Comprueba el tipo de extremo y explica unidades y significado.
01 · Tasa de variación y derivada
Interpretar la derivada como tasa instantánea y pendiente y calcularla desde su definición en casos sencillos.
- La pendiente de la tangente en el punto.
- La media usa un intervalo; la instantánea es el límite cuando ese intervalo se contrae.
02 · Reglas de derivación
Aplicar reglas de derivación de sumas, productos, cocientes y composiciones sin perder factores.
- u′v+uv′.
- La derivada de la función interior.
03 · Crecimiento, extremos y optimización
Usar el signo de la derivada para estudiar crecimiento y resolver optimizaciones con restricciones.
- Un punto del dominio donde la derivada se anula o no existe.
- Un máximo local.
Formulario del tema
Tasa de variación y derivada
Reglas de derivación
Crecimiento, extremos y optimización
Refuerzo 1 · Recuperación activa
Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.
¿Qué diferencia tasa media e instantánea?
La media usa un intervalo; la instantánea es el límite cuando ese intervalo se contrae.
¿Qué factor suele olvidarse en una composición?
La derivada de la función interior.
¿Qué prueba un cambio de signo +→− en f′?
Un máximo local.
Refuerzo 2 · Detecta el error
Una resolución afirma: Si f′(0)=0, hay un máximo o un mínimo en 0.
Localiza el fallo, explica por qué no es válido y corrígelo antes de abrir la respuesta.
Contrastar mi corrección
No necesariamente: f(x)=x³ tiene f′(0)=0 y sigue creciendo a ambos lados. Se necesita analizar el signo de la derivada u otro criterio apropiado.
Refuerzo 3 · Reto de transferencia
Con 20 m de valla se construye un rectángulo. ¿Qué dimensiones maximizan su área?
Ver desarrollo y comprobación
Si un lado es x, el otro es 10−x, con 0<x<10. A=x(10−x), A′=10−2x y A′′=−2. El máximo está en x=5: cuadrado de 5 m y área 25 m².
Refuerzo 4 · Minitest mixto
Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.
La tasa media corresponde a la pendiente de…
Solución y explicación
Respuesta: Una secante. Compara dos puntos de la gráfica.
La derivada de una constante es…
Solución y explicación
Respuesta: Cero. La función no cambia cuando cambia x.
f′(a)=0 garantiza un extremo…
Solución y explicación
Respuesta: No necesariamente. x³ en cero es un contraejemplo.
Si una función es derivable en a…
Solución y explicación
Respuesta: Es continua allí. La derivabilidad exige continuidad, pero no asegura un extremo.
Al derivar sen(3x) se obtiene…
Solución y explicación
Respuesta: 3cos(3x). La cadena aporta el factor 3.
En un intervalo cerrado también hay que comprobar…
Solución y explicación
Respuesta: Los extremos del intervalo. Un máximo o mínimo absoluto puede estar en el borde.
Si f mide litros y x minutos, f′ se mide en…
Solución y explicación
Respuesta: Litros/minuto. La tasa divide las unidades de la salida por las de la entrada.
En la regla del cociente el denominador es…
Solución y explicación
Respuesta: v². La fórmula completa es (u′v−uv′)/v².
Si f′ cambia de − a +, aparece…
Solución y explicación
Respuesta: Mínimo local. La función deja de decrecer y comienza a crecer.
Refuerzo 5 · Flashcards del tema
Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.
¿Qué interpreta f′(a) geométricamente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La pendiente de la tangente en el punto.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué diferencia tasa media e instantánea?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La media usa un intervalo; la instantánea es el límite cuando ese intervalo se contrae.
Intenta responder antes de mirar.
¿La continuidad garantiza derivabilidad?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No, puede haber esquinas como en |x|.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se escribe la tangente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
y−f(a)=f′(a)(x−a).
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuál es la regla del producto?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
u′v+uv′.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué factor suele olvidarse en una composición?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La derivada de la función interior.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuánto deriva cosx?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
−senx, trabajando en radianes.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué conviene identificar antes de derivar?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Si hay suma, producto, cociente o composición y cuáles son sus capas.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué es un punto crítico?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Un punto del dominio donde la derivada se anula o no existe.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué prueba un cambio de signo +→− en f′?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Un máximo local.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué va antes de derivar en optimización?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Plantear objetivo, restricción y dominio contextual.
Intenta responder antes de mirar.
¿f″=0 decide la clasificación?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No; hay que usar otro criterio, como el cambio de signo.
Intenta responder antes de mirar.
Refuerzo 6 · Mezcla con un tema anterior
Cambia de procedimiento para comprobar si puedes elegirlo sin que el título del tema te lo indique.
Calcula el límite de a_n=(2n+1)/(n+1).
Comparar mi solución
a_n=(2+1/n)/(1+1/n), que tiende a 2. El valor 2 es una aproximación límite, no necesariamente un término de la sucesión.
Justifica que x³+x−1 tiene alguna raíz en (0,1).
Comparar mi solución
Es un polinomio, por tanto continuo en [0,1]. Sus valores son −1 en 0 y 1 en 1. Por el teorema del valor intermedio existe al menos una raíz entre ambos.
Un plan de repaso adaptable
Hoy: haz el reto y registra el error. En 1 día: recupera las tarjetas difíciles. En 3 días: resuelve de nuevo sin mirar. En 7 días: mezcla este tema con otro. En 14 días: revisa lo que siga costando. Adelanta o retrasa sesiones según el examen y tu recuerdo real; estas fechas son una pauta, no una receta óptima universal.
Marca «lo recordaba» solo si pudiste responder antes de ver la solución. Estudiar no consiste en pasar tarjetas rápidamente.
Mi registro de errores
Se guarda solo en este navegador.
Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.
Recursos para dominar este tema
Cuando termines las lecciones, utiliza estos cuatro recursos según lo que necesites: repasar, practicar, comprobarte o corregir errores.