Matemáticas I · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Datos y azar
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Distribuciones bidimensionales y correlación
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Ejercicio 1. Si se cambia y de metros a centímetros, ¿cambia el signo de la covarianza y la correlación?
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Pista: La nueva variable es 100y.
Solución: La covarianza se multiplica por 100, pero conserva el signo. La desviación típica de y también se multiplica por 100, así que r no cambia.
Ejercicio 2. ¿Se puede calcular Pearson si todos los valores de x son iguales?
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Pista: El denominador contiene s_x.
Solución: No de la manera definida: s_x=0 y se dividiría entre cero. La correlación queda indefinida, no es automáticamente cero.
Ejercicio 3. Las parejas (−1,1), (0,0), (1,1) tienen covarianza cero. ¿Son variables sin relación?
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Pista: Observa la expresión y=x².
Solución: No. Existe una relación cuadrática exacta. La covarianza y Pearson no detectan esa relación simétrica como asociación lineal.
Regresión y límites de la predicción
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Ejercicio 4. Usa la recta del primer ejemplo para predecir y cuando x=4. ¿Es interpolación?
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Pista: El mayor x observado es 3.
Solución: ŷ=1/3+6=19/3≈6,33. Es extrapolación, porque 4 queda fuera del intervalo observado.
Ejercicio 5. Si r=−0,8, calcula R² y explica el signo de la pendiente.
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Pista: El cuadrado pierde el signo, la pendiente no.
Solución: R²=0,64. La pendiente es negativa. El 64 % se refiere a variabilidad muestral explicada por el modelo lineal con intercepto, no a causalidad.
Ejercicio 6. Una recta predice 12 y el valor observado es 10. Calcula el residuo.
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Pista: Resta observado menos predicho.
Solución: El residuo es 10−12=−2. La predicción ha sobreestimado el valor en 2 unidades.
Probabilidad y experimentos aleatorios
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Ejercicio 7. ¿Cuántos grupos de tres alumnos pueden elegirse de un conjunto de cinco?
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Pista: El orden de selección no importa.
Solución: C(5,3)=5!/(3!2!)=10 grupos.
Ejercicio 8. En una baraja simplificada hay 4 cartas rojas y 6 negras. Se toma una y no se devuelve. Si la primera fue negra, ¿cuál es la probabilidad de roja en la segunda?
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Pista: Quedan nueve cartas y ninguna roja ha salido.
Solución: P(roja segunda | negra primera)=4/9.
Ejercicio 9. En 100 lanzamientos de una moneda se observan 57 caras. ¿Eso prueba que P(cara)=0,57?
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Pista: Distingue frecuencia y parámetro del modelo.
Solución: La frecuencia observada es 0,57, una estimación. No demuestra que la probabilidad verdadera sea exactamente ese valor; una moneda equilibrada también puede producir esa muestra.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.