Matemáticas I · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Derivadas
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Tasa de variación y derivada
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Ejercicio 1. Halla la derivada de f(x)=3x+2 usando el cociente incremental.
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Pista: La diferencia f(a+h)−f(a) es 3h.
Solución: El cociente vale 3 para todo h≠0, así que f′(a)=3 en cualquier punto.
Ejercicio 2. Obtén la tangente a x² en x=1.
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Pista: Usa f(1)=1 y f′(1)=2.
Solución: y−1=2(x−1), por lo que y=2x−1.
Ejercicio 3. ¿Es derivable |x| en cero?
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Pista: Calcula el cociente |h|/h por cada lado.
Solución: Para h>0 vale 1 y para h<0 vale −1. Los límites laterales difieren, de modo que no es derivable aunque sí sea continua.
Reglas de derivación
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Ejercicio 4. Deriva f(x)=5x⁴−3x²+7.
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Pista: Deriva cada sumando por separado.
Solución: f′(x)=20x³−6x; la constante 7 desaparece.
Ejercicio 5. Deriva ln(2x+1) e indica dónde se usa esa expresión real.
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Pista: Combina la derivada de ln con la de su argumento.
Solución: f′(x)=2/(2x+1). La función original exige 2x+1>0, es decir, x>−1/2.
Ejercicio 6. Deriva (x²+1)/(x−1).
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Pista: Usa u′v−uv′ y conserva el denominador al cuadrado.
Solución: f′=[2x(x−1)−(x²+1)]/(x−1)²=(x²−2x−1)/(x−1)², para x≠1.
Crecimiento, extremos y optimización
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Ejercicio 7. ¿Tiene x³ un extremo en cero?
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Pista: Mira el signo de 3x² a ambos lados.
Solución: No. La derivada es positiva a ambos lados de cero, aunque en el punto valga cero. La función sigue creciendo.
Ejercicio 8. Halla máximo y mínimo de x²−2x en [0,3].
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Pista: Compara el punto crítico con los extremos del intervalo.
Solución: f′=2x−2 se anula en x=1. f(0)=0, f(1)=−1 y f(3)=3. El mínimo absoluto es −1 en 1 y el máximo absoluto 3 en 3.
Ejercicio 9. Con 24 m de valla se cercan tres lados de un rectángulo junto a una pared. Halla el área máxima.
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Pista: Si los dos lados perpendiculares miden x, el tercero mide 24−2x.
Solución: A=x(24−2x), con 0<x<12. A′=24−4x=0 da x=6. El lado junto a la pared mide 12 m y el área es 72 m². A″=−4 confirma el máximo.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.