Matemáticas I · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Números y álgebra
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Números reales, intervalos y valor absoluto
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Ejercicio 1. Resuelve |x+1|<3.
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Pista: Identifica el centro: x+1=x−(−1).
Solución: −3<x+1<3. Al restar 1 resulta −4<x<2; por tanto, (−4,2).
Ejercicio 2. Resuelve −2x+1≥7.
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Pista: Recuerda qué ocurre al dividir entre −2.
Solución: −2x≥6. Al dividir entre un número negativo cambia el sentido: x≤−3, es decir, (−∞,−3].
Ejercicio 3. Un instrumento acepta una lectura x si su distancia a 20 no supera 0,4. Escribe la condición y el intervalo.
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Pista: La tolerancia funciona como radio alrededor de 20.
Solución: La condición es |x−20|≤0,4. Se acepta 19,6≤x≤20,4: [19,6;20,4]. El punto y coma separa los extremos para no confundirlos con las comas decimales.
Potencias, radicales y logaritmos
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Ejercicio 4. Calcula 16^(−3/4).
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Pista: Separa la raíz cuarta, la potencia tercera y el inverso.
Solución: La raíz cuarta de 16 es 2; 2³=8. El exponente negativo toma el inverso: 1/8.
Ejercicio 5. Resuelve ln(x)+ln(x−2)=ln(3).
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Pista: El dominio exige x>2.
Solución: ln(x(x−2))=ln3 implica x²−2x−3=0. Factorizando: (x−3)(x+1)=0. Los candidatos son 3 y −1; únicamente x=3 pertenece al dominio.
Ejercicio 6. Una población se modeliza por P(t)=500·1,05^t. ¿Cuándo alcanza 1.000 según el modelo continuo?
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Pista: Aísla la potencia y usa logaritmos.
Solución: 1,05^t=2 y t=ln2/ln1,05≈14,21 unidades de tiempo. Si solo se revisa al final de años enteros, el primer año con al menos 1.000 es el 15. El modelo supone una tasa constante.
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
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Ejercicio 7. Resuelve √(x+2)=x.
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Pista: La raíz es no negativa, así que x≥0.
Solución: Al cuadrar: x+2=x², luego (x−2)(x+1)=0. Los candidatos son 2 y −1. Solo x=2 cumple la ecuación inicial: √4=2.
Ejercicio 8. Resuelve 3x²−12=0.
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Pista: Aísla x² y recuerda las dos raíces.
Solución: x²=4, por lo que x=−2 o x=2. Ambas verifican 3x²−12=0.
Ejercicio 9. Un rectángulo tiene perímetro 14 cm y área 12 cm². Calcula sus lados.
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Pista: Si los lados son a y b, usa a+b=7 y ab=12.
Solución: Sustituyendo b=7−a: a²−7a+12=0, es decir, (a−3)(a−4)=0. Los lados son 3 cm y 4 cm. Intercambiarlos no produce un rectángulo diferente.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.