Calcular una recta de regresión, valorar el ajuste y reconocer los límites de sus predicciones.
Míralo en un dibujo
Se muestra una nube de puntos, la recta y=0,8x+1 y residuos verticales. La predicción fuera del intervalo observado se representa discontinua para destacar su incertidumbre.
Antes de seguir: ¿Qué mide un residuo?
Comprueba tu razonamiento
La diferencia vertical entre el valor observado y el valor predicho por el modelo para esa misma x.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Media y dispersión; Rectas; Proporciones.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué minimiza la regresión lineal ordinaria de y sobre x?
La suma de los cuadrados de los residuos verticales.
En un minuto
- La suma de los cuadrados de los residuos verticales.
- s_xy/s_x², si x tiene variación.
- Porque minimiza errores en otra variable.
- El patrón puede cambiar fuera de la zona donde se observaron datos.
Entiende la idea
El concepto
La regresión busca una función que describa la relación entre variables y permita estimar una a partir de otra. En la regresión lineal de y sobre x, la recta ŷ=a+bx minimiza la suma de cuadrados de los residuos verticales y_i−ŷ_i. El objetivo es predecir y desde x; intercambiar las variables produce otro problema y, en general, otra recta.
La pendiente es b=s_xy/s_x² y la ordenada es a=ȳ−bx̄ cuando s_x²>0. La recta pasa por el punto de medias (x̄,ȳ). La pendiente lleva unidades de y por unidad de x; su signo coincide con el de la correlación. El coeficiente de determinación R²=r² en regresión lineal simple con intercepto describe la proporción de variabilidad muestral explicada por ese ajuste. No mide probabilidad de acertar ni porcentaje de causalidad.
Cómo utilizarlo sin errores
Interpolar es predecir dentro de la zona observada. Extrapolar es hacerlo fuera; exige suponer que el patrón continúa y puede fallar incluso con un R² alto. Un valor atípico puede cambiar mucho la recta. La incertidumbre de una predicción no desaparece porque una calculadora muestre muchos decimales.
No toda nube es lineal. Una tendencia curvada puede requerir un modelo cuadrático u otra función. Hay que comparar residuos, sentido contextual y complejidad, no elegir siempre el modelo que pase exactamente por todos los puntos. Ajustar tres parámetros a tres observaciones puede dar coincidencia perfecta sin capacidad de generalizar. La predicción es una estimación condicionada al modelo y a los datos disponibles.
Una alternativa cuando la nube muestra curvatura es un modelo cuadrático y=ax²+bx+c. Con datos (−1,1), (0,0) y (1,1), las ecuaciones a−b+c=1, c=0 y a+b+c=1 dan a=1, b=0, c=0: y=x² interpola esos tres puntos. Con más datos se puede ajustar por mínimos cuadrados; no debe elegirse un polinomio de grado creciente solo para anular residuos. Ajuste y capacidad de predicción son cuestiones distintas.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
ŷ=a+bx; b=s_xy/s_x²; a=ȳ−bx̄. Residuo=y−ŷ. R²=r² en regresión lineal simple con intercepto.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Halla la recta de y sobre x para (1,2), (2,3), (3,5).
- x̄=2, ȳ=10/3, s_x²=2/3 y s_xy=1.
- La pendiente es b=1/(2/3)=3/2. La ordenada es a=10/3−(3/2)·2=1/3.
- La recta es ŷ=1/3+(3/2)x. Para x=2 predice 10/3, de modo que el residuo de la observación y=3 es −1/3.
Ejemplo 2 · Compara una recta y una parábola para (−1,1), (0,0), (1,1).
- La nube tiene forma de U y covarianza cero. La regresión lineal es horizontal: ŷ=2/3.
- La función cuadrática y=x² pasa exactamente por los tres puntos.
- El ajuste cuadrático describe mejor estos datos, pero tres puntos no bastan para garantizar que el patrón se mantenga lejos del intervalo [−1,1].
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Usa la recta del primer ejemplo para predecir y cuando x=4. ¿Es interpolación?
Primera ayuda
El mayor x observado es 3.
Ver solución razonada
ŷ=1/3+6=19/3≈6,33. Es extrapolación, porque 4 queda fuera del intervalo observado.
Práctica 2 · Si r=−0,8, calcula R² y explica el signo de la pendiente.
Primera ayuda
El cuadrado pierde el signo, la pendiente no.
Ver solución razonada
R²=0,64. La pendiente es negativa. El 64 % se refiere a variabilidad muestral explicada por el modelo lineal con intercepto, no a causalidad.
Práctica 3 · Una recta predice 12 y el valor observado es 10. Calcula el residuo.
Primera ayuda
Resta observado menos predicho.
Ver solución razonada
El residuo es 10−12=−2. La predicción ha sobreestimado el valor en 2 unidades.
El error que debes evitar
No invertir la recta para resolver otro ajuste. No interpretar R² como certeza. No confiar en un modelo solo porque ajusta exactamente pocos puntos.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La recta de regresión pasa por…
Solución y explicación
Respuesta: El punto de medias. La identidad a=ȳ−bx̄ asegura esa propiedad.
Extrapolar es predecir…
Solución y explicación
Respuesta: Fuera del intervalo observado. Requiere prolongar el patrón más allá de la evidencia disponible.
Un residuo es…
Solución y explicación
Respuesta: Observado menos predicho. Mide el error vertical de una observación respecto al modelo.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué minimiza la regresión lineal ordinaria de y sobre x?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La suma de los cuadrados de los residuos verticales.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuál es la pendiente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
s_xy/s_x², si x tiene variación.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué la regresión inversa no se obtiene simplemente despejando?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Porque minimiza errores en otra variable.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué limita una extrapolación?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El patrón puede cambiar fuera de la zona donde se observaron datos.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Calcula los tres residuos del primer ejemplo y comprueba que suman cero. Explica qué cambia si redondeas la pendiente demasiado pronto.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.