Organizar datos de dos variables y medir su asociación sin confundirla con causalidad.
Míralo en un dibujo
Una nube de puntos con tendencia creciente ilustra asociación positiva. La recta orienta sobre el patrón, pero no demuestra causalidad.
Antes de seguir: ¿Una relación muy fuerte demuestra que una variable causa la otra?
Comprueba tu razonamiento
No. Puede haber variables de confusión o una causa común. La correlación por sí sola no identifica el mecanismo.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Media y dispersión; Rectas; Proporciones.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué debe conservarse en datos emparejados?
La correspondencia entre cada x y su y.
En un minuto
- La correspondencia entre cada x y su y.
- El producto de las unidades de ambas variables.
- La dirección e intensidad de la asociación lineal.
- Observar la nube de puntos y revisar muestra, unidades y valores atípicos.
Entiende la idea
El concepto
En una distribución bidimensional se observan dos variables sobre las mismas unidades. Cada persona, objeto o ensayo aporta una pareja (x,y). Si se desordena una columna de forma independiente se destruye esa correspondencia y se altera el análisis. El diagrama de dispersión representa las parejas y permite detectar tendencia, grupos y valores atípicos antes de calcular coeficientes.
Una tabla de doble entrada recoge frecuencias conjuntas. Al sumar filas o columnas se obtienen distribuciones marginales. Las frecuencias condicionadas usan como denominador solo el grupo elegido; por eso no coinciden necesariamente con las frecuencias globales. Distinguirlas es esencial al comparar resultados de experimentos o características de subpoblaciones.
Cómo utilizarlo sin errores
La covarianza resume si las desviaciones de x e y respecto de sus medias tienden a tener el mismo signo. Aquí usamos la versión descriptiva dividida por n: s_xy=(1/n)Σ(x_i−x̄)(y_i−ȳ). Es positiva en tendencias crecientes y negativa en decrecientes, pero su magnitud depende de las unidades. La correlación de Pearson divide por las desviaciones típicas, r=s_xy/(s_xs_y), y toma valores entre −1 y 1 si ambas variables tienen dispersión no nula.
La correlación mide asociación lineal. Un valor cercano a cero no descarta una relación curva. Tampoco un valor alto demuestra que una variable cause la otra: puede haber factores comunes, selección de muestras o coincidencias. Antes de resumir un conjunto por un número, mira la forma de la nube, la calidad de la medición y el tamaño y origen de la muestra.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
s_xy=(1/n)Σ(x_i−x̄)(y_i−ȳ). r=s_xy/(s_xs_y), con s_x,s_y>0. −1≤r≤1.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Analiza las parejas (1,2), (2,4), (3,6).
- Las medias son x̄=2 e ȳ=4. La covarianza es ((−1)(−2)+0+1·2)/3=4/3.
- Las varianzas descriptivas son s_x²=2/3 y s_y²=8/3. Por tanto s_xs_y=4/3.
- r=1: las parejas se sitúan exactamente en la recta y=2x. Esto describe la muestra, no una relación causal universal.
Ejemplo 2 · En el grupo A hay 4 resultados altos y 6 bajos; en B, 8 altos y 2 bajos. Compara proporción global y condicionada.
- Hay 12 resultados altos de 20 en total: proporción global 12/20=0,60.
- En A la proporción es 4/10=0,40; en B es 8/10=0,80.
- El denominador cambia al condicionar por grupo. La diferencia requiere interpretar cómo se formaron los grupos antes de atribuir una causa.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Si se cambia y de metros a centímetros, ¿cambia el signo de la covarianza y la correlación?
Primera ayuda
La nueva variable es 100y.
Ver solución razonada
La covarianza se multiplica por 100, pero conserva el signo. La desviación típica de y también se multiplica por 100, así que r no cambia.
Práctica 2 · ¿Se puede calcular Pearson si todos los valores de x son iguales?
Primera ayuda
El denominador contiene s_x.
Ver solución razonada
No de la manera definida: s_x=0 y se dividiría entre cero. La correlación queda indefinida, no es automáticamente cero.
Práctica 3 · Las parejas (−1,1), (0,0), (1,1) tienen covarianza cero. ¿Son variables sin relación?
Primera ayuda
Observa la expresión y=x².
Ver solución razonada
No. Existe una relación cuadrática exacta. La covarianza y Pearson no detectan esa relación simétrica como asociación lineal.
El error que debes evitar
No separar las parejas originales. No confundir marginal con condicionada. No tratar r=0 como independencia demostrada.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Las frecuencias marginales se obtienen…
Solución y explicación
Respuesta: Sumando filas o columnas. Son los totales de cada variable al prescindir de la otra.
r cercano a cero significa…
Solución y explicación
Respuesta: Poca asociación lineal. Puede existir una relación no lineal importante.
Una correlación alta demuestra causalidad…
Solución y explicación
Respuesta: No. Se necesitan diseño y evidencia causal adicionales.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué debe conservarse en datos emparejados?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La correspondencia entre cada x y su y.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué unidades tiene la covarianza?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El producto de las unidades de ambas variables.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué mide Pearson?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La dirección e intensidad de la asociación lineal.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hacer antes de calcular r?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Observar la nube de puntos y revisar muestra, unidades y valores atípicos.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Propón una tercera variable que pueda explicar una correlación observada y diseña qué información adicional recogerías para examinarla.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
Consolida el tema completo
Abrir resumen, esquema y refuerzo de Datos y azar
Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.