Aplicar reglas de derivación de sumas, productos, cocientes y composiciones sin perder factores.
Míralo en un dibujo
Para y=(3x²+1)⁵, la derivada exterior es 5(3x²+1)⁴ y la interior es 6x. El producto es 30x(3x²+1)⁴.
Antes de seguir: ¿Qué factor falta en 5(3x²+1)⁴?
Comprueba tu razonamiento
La derivada interior 6x. Omitirla es el error característico de la regla de la cadena.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Funciones y límites; Polinomios; Despeje de restricciones.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Cuál es la regla del producto?
u′v+uv′.
En un minuto
- u′v+uv′.
- La derivada de la función interior.
- −senx, trabajando en radianes.
- Si hay suma, producto, cociente o composición y cuáles son sus capas.
Entiende la idea
El concepto
Las reglas de derivación evitan repetir el límite en cada función. Una constante deriva a cero; x^n deriva a nx^(n−1) en los puntos donde la expresión y su derivada tienen sentido. La derivada de una suma es la suma de derivadas y un factor constante se conserva. Conviene simplificar expresiones cuando ello reduce operaciones, manteniendo siempre las restricciones del dominio original.
El producto no se deriva multiplicando derivadas: (uv)′=u′v+uv′. En un cociente, se resta u′v−uv′ y se divide por v²; el denominador debe ser distinto de cero. Cambiar el orden de la resta cambia el signo del resultado. Escribir por separado u, v y sus derivadas ayuda cuando hay varios términos.
Cómo utilizarlo sin errores
La regla de la cadena actúa sobre funciones dentro de funciones. En f(g(x)), se deriva la función exterior manteniendo la interior y se multiplica por g′(x). Puede repetirse si hay varias capas. Por ejemplo, derivar (3x²+1)^4 exige tanto el exponente exterior como la derivada 6x de la expresión interior. Ver la estructura antes de operar es más fiable que memorizar cada combinación.
Las funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas tienen reglas propias: (e^x)′=e^x, (lnx)′=1/x para x>0, (senx)′=cosx y (cosx)′=−senx con ángulos en radianes. Si el argumento no es simplemente x, se incorpora la cadena. Tras calcular, revisa dominio, signos y factores, y comprueba un caso sencillo o una aproximación numérica razonable.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
(uv)′=u′v+uv′. (u/v)′=(u′v−uv′)/v². [f(g(x))]′=f′(g(x))g′(x).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Deriva f(x)=(3x²+1)^4.
- La función exterior es una cuarta potencia y la interior u=3x²+1.
- La derivada exterior evaluada en u es 4u³ y u′=6x.
- f′(x)=4(3x²+1)³·6x=24x(3x²+1)³. Sin 6x la derivación quedaría incompleta.
Ejemplo 2 · Deriva f(x)=x e^x.
- Identificamos u=x y v=e^x; entonces u′=1 y v′=e^x.
- Aplicamos producto: f′=1·e^x+x·e^x.
- Se puede factorizar como e^x(1+x). No es e^x, que sería multiplicar incorrectamente las derivadas.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Deriva f(x)=5x⁴−3x²+7.
Primera ayuda
Deriva cada sumando por separado.
Ver solución razonada
f′(x)=20x³−6x; la constante 7 desaparece.
Práctica 2 · Deriva ln(2x+1) e indica dónde se usa esa expresión real.
Primera ayuda
Combina la derivada de ln con la de su argumento.
Ver solución razonada
f′(x)=2/(2x+1). La función original exige 2x+1>0, es decir, x>−1/2.
Práctica 3 · Deriva (x²+1)/(x−1).
Primera ayuda
Usa u′v−uv′ y conserva el denominador al cuadrado.
Ver solución razonada
f′=[2x(x−1)−(x²+1)]/(x−1)²=(x²−2x−1)/(x−1)², para x≠1.
El error que debes evitar
No multiplicar derivadas para derivar un producto. No invertir la resta en el cociente. No olvidar la cadena ni el signo negativo del coseno.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La derivada de una constante es…
Solución y explicación
Respuesta: Cero. La función no cambia cuando cambia x.
Al derivar sen(3x) se obtiene…
Solución y explicación
Respuesta: 3cos(3x). La cadena aporta el factor 3.
En la regla del cociente el denominador es…
Solución y explicación
Respuesta: v². La fórmula completa es (u′v−uv′)/v².
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Cuál es la regla del producto?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
u′v+uv′.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué factor suele olvidarse en una composición?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La derivada de la función interior.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuánto deriva cosx?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
−senx, trabajando en radianes.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué conviene identificar antes de derivar?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Si hay suma, producto, cociente o composición y cuáles son sus capas.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Escribe una derivada de dos maneras: desarrollando antes un polinomio y usando la cadena. Comprueba que ambas expresiones se simplifican al mismo resultado.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.