Interpretar la derivada como tasa instantánea y pendiente y calcularla desde su definición en casos sencillos.
Míralo en un dibujo
La curva y=x² tiene en (1,1) una recta tangente y=2x−1. La derivada f′(1)=2 mide su pendiente.
Antes de seguir: ¿Qué expresa aquí f′(1)=2?
Comprueba tu razonamiento
Que cerca de x=1 la función cambia aproximadamente 2 unidades de y por cada unidad pequeña de x.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Funciones y límites; Polinomios; Despeje de restricciones.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué interpreta f′(a) geométricamente?
La pendiente de la tangente en el punto.
En un minuto
- La pendiente de la tangente en el punto.
- La media usa un intervalo; la instantánea es el límite cuando ese intervalo se contrae.
- No, puede haber esquinas como en |x|.
- y−f(a)=f′(a)(x−a).
Entiende la idea
El concepto
La tasa de variación media de f entre a y b mide cuánto cambia la salida por cada unidad de cambio de la entrada: (f(b)−f(a))/(b−a). Geométricamente es la pendiente de la secante que une dos puntos de la gráfica. No informa necesariamente de la velocidad de cambio en cada instante del intervalo; distintas evoluciones pueden compartir la misma tasa media.
La derivada en a se obtiene haciendo que el segundo punto se acerque al primero. Si el límite del cociente incremental existe y es finito, f es derivable en a. El número f′(a) representa la pendiente de la tangente y una tasa instantánea. Sus unidades son las de la salida divididas por las de la entrada: si posición se mide en metros y tiempo en segundos, la derivada se mide en m/s.
Cómo utilizarlo sin errores
Una función puede ser continua y no derivable. En |x|, las pendientes laterales en cero son −1 y 1, de modo que hay una esquina. La derivabilidad implica continuidad, pero no al revés. También pueden aparecer tangentes verticales, donde no existe una derivada finita en el sentido usado aquí.
La tangente es una recta que aproxima localmente la función: f(a+h)≈f(a)+f′(a)h para incrementos pequeños. No debe usarse como igualdad exacta para cualquier h. Aprender la definición ayuda a interpretar las reglas de derivación posteriores: no son fórmulas aisladas, sino maneras rápidas de calcular ese límite.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
f′(a)=lim(h→0)[f(a+h)−f(a)]/h. Tangente: y−f(a)=f′(a)(x−a).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Calcula desde la definición la derivada de f(x)=x² en x=2 y su tangente.
- El cociente incremental es ((2+h)²−4)/h=(4h+h²)/h=4+h, para h≠0.
- Al tender h a cero resulta f′(2)=4.
- La tangente por (2,4) es y−4=4(x−2), es decir, y=4x−4.
Ejemplo 2 · Una posición es s(t)=t², en metros, con t en segundos. Compara velocidad media entre 1 y 3 con la instantánea en 3.
- La velocidad media es (s(3)−s(1))/(3−1)=(9−1)/2=4 m/s.
- La derivada es s′(t)=2t, así que en t=3 la velocidad es 6 m/s.
- La diferencia muestra que la rapidez de cambio aumenta a lo largo del intervalo.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Halla la derivada de f(x)=3x+2 usando el cociente incremental.
Primera ayuda
La diferencia f(a+h)−f(a) es 3h.
Ver solución razonada
El cociente vale 3 para todo h≠0, así que f′(a)=3 en cualquier punto.
Práctica 2 · Obtén la tangente a x² en x=1.
Primera ayuda
Usa f(1)=1 y f′(1)=2.
Ver solución razonada
y−1=2(x−1), por lo que y=2x−1.
Práctica 3 · ¿Es derivable |x| en cero?
Primera ayuda
Calcula el cociente |h|/h por cada lado.
Ver solución razonada
Para h>0 vale 1 y para h<0 vale −1. Los límites laterales difieren, de modo que no es derivable aunque sí sea continua.
El error que debes evitar
No confundir f(a) con f′(a). No escribir una tangente sin pasar por el punto correcto. No omitir unidades en una tasa.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La tasa media corresponde a la pendiente de…
Solución y explicación
Respuesta: Una secante. Compara dos puntos de la gráfica.
Si una función es derivable en a…
Solución y explicación
Respuesta: Es continua allí. La derivabilidad exige continuidad, pero no asegura un extremo.
Si f mide litros y x minutos, f′ se mide en…
Solución y explicación
Respuesta: Litros/minuto. La tasa divide las unidades de la salida por las de la entrada.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué interpreta f′(a) geométricamente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La pendiente de la tangente en el punto.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué diferencia tasa media e instantánea?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La media usa un intervalo; la instantánea es el límite cuando ese intervalo se contrae.
Intenta responder antes de mirar.
¿La continuidad garantiza derivabilidad?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No, puede haber esquinas como en |x|.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se escribe la tangente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
y−f(a)=f′(a)(x−a).
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Utiliza la tangente de x² en 2 para aproximar 2,01². Compara 4+4·0,01=4,04 con el valor exacto 4,0401 y explica el pequeño error.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.