Componer funciones con dominio correcto y construir inversas cuando existe correspondencia uno a uno.
Míralo en un dibujo
Con g(x)=3x+1 y f(u)=u², la composición f(g(x)) es (3x+1)². Primero se aplica la función interior.
Antes de seguir: ¿Sería igual g(f(x))?
Comprueba tu razonamiento
No: en este ejemplo g(f(x))=3x²+1. El orden importa.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Intervalos; Ecuaciones; Lectura de gráficas.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Cuál es el orden en f(g(x))?
Primero g, después f.
En un minuto
- Primero g, después f.
- Que x sea admisible para la función interior y su imagen para la exterior.
- Entradas diferentes producen salidas diferentes.
- Se reflejan respecto de la recta y=x.
Entiende la idea
El concepto
Componer funciones significa usar la salida de una como entrada de otra. La expresión (f∘g)(x)=f(g(x)) indica que g actúa primero. El orden importa: normalmente f∘g y g∘f son diferentes. Para que la composición esté definida, x debe pertenecer al dominio de g y g(x) debe estar permitido como entrada de f.
La función inversa deshace una transformación: f⁻¹(f(x))=x en el dominio correspondiente. No es lo mismo que el recíproco 1/f(x). Para existir como función en todo el recorrido, f debe ser inyectiva: dos entradas diferentes no pueden producir una misma salida. Una gráfica estrictamente creciente o decreciente en un intervalo es inyectiva allí.
Cómo utilizarlo sin errores
Para calcular una inversa, escribe y=f(x), despeja x en función de y e intercambia los nombres de variables. El dominio y el recorrido se intercambian. La gráfica de la inversa es la reflexión de la original respecto de y=x. Si al despejar aparecen dos signos, puede ser necesario restringir el dominio antes de hablar de inversa.
La función x² no es inyectiva en los reales porque x y −x tienen la misma imagen. Restringida a [0,∞), su inversa es √x; restringida a (−∞,0], la inversa es −√x. Estas decisiones deben indicarse: elegir una rama sin informar del dominio cambia el problema. La comprobación mediante composición detecta muchos errores de despeje.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
(f∘g)(x)=f(g(x)). f⁻¹∘f=id. Dom(f⁻¹)=Rec(f), cuando la inversa existe.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Para f(x)=√x y g(x)=x−1, calcula las dos composiciones y sus dominios.
- (f∘g)(x)=√(x−1), que exige x≥1.
- (g∘f)(x)=√x−1, que exige x≥0.
- Son distintas en expresión y dominio. En x=4, la primera vale √3 y la segunda 1.
Ejemplo 2 · Encuentra la inversa de f(x)=2x−3.
- Escribimos y=2x−3 y despejamos x=(y+3)/2.
- Intercambiando nombres: f⁻¹(x)=(x+3)/2. Dominio y recorrido son todos los reales.
- Comprobamos: f(f⁻¹(x))=2((x+3)/2)−3=x.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Halla la inversa de f(x)=x³+2.
Primera ayuda
La función cúbica es inyectiva en los reales.
Ver solución razonada
y=x³+2 implica x=∛(y−2). Por tanto f⁻¹(x)=∛(x−2), con dominio real.
Práctica 2 · ¿Tiene x² inversa como función de todos los reales en [0,∞)?
Primera ayuda
Compara las imágenes de 2 y −2.
Ver solución razonada
No es inyectiva: ambas entradas dan 4. Restringiendo el dominio a [0,∞), sí tiene inversa √x.
Práctica 3 · Si f(x)=1/x y g(x)=x−2, calcula f∘g y su dominio.
Primera ayuda
La entrada de f no puede ser cero.
Ver solución razonada
(f∘g)(x)=1/(x−2). Se excluye x=2; dominio (−∞,2)∪(2,∞).
El error que debes evitar
No confundir inversa con recíproco. No invertir sin estudiar inyectividad. No conservar automáticamente el dominio de una sola función al componer.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
En f∘g actúa primero…
Solución y explicación
Respuesta: g. La notación significa f(g(x)).
f⁻¹ significa…
Solución y explicación
Respuesta: La función inversa. El recíproco y la inversa son operaciones diferentes.
Para invertir x² mediante √x hay que usar como dominio original…
Solución y explicación
Respuesta: [0,∞). En la rama no negativa x² es inyectiva y √ deshace el cuadrado.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Cuál es el orden en f(g(x))?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Primero g, después f.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué exige el dominio de una composición?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Que x sea admisible para la función interior y su imagen para la exterior.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa inyectiva?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Entradas diferentes producen salidas diferentes.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se relacionan las gráficas de una función y su inversa?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Se reflejan respecto de la recta y=x.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Interpreta una conversión de unidades y su inversa. Comprueba que convertir y volver a convertir recupera la cantidad inicial.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.