Reconocer familias de funciones y construir nuevas gráficas mediante desplazamientos y escalas.
Míralo en un dibujo
Se comparan y=x² e y=(x−1)²+1. La segunda parábola es la primera trasladada una unidad a la derecha y una hacia arriba.
Antes de seguir: ¿Dónde está el vértice de y=(x−1)²+1?
Comprueba tu razonamiento
En (1,1). El signo dentro del paréntesis se interpreta al resolver x−1=0.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Intervalos; Ecuaciones; Lectura de gráficas.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué hace sumar k fuera de f?
Desplazar la gráfica verticalmente k unidades.
En un minuto
- Desplazar la gráfica verticalmente k unidades.
- Vértice (h,k), apertura y escala de la parábola.
- Cambios por un factor constante en intervalos iguales de la variable.
- Reflexión respecto del eje horizontal, además de la escala por su valor absoluto.
Entiende la idea
El concepto
Las funciones elementales proporcionan modelos de comportamientos distintos. Una lineal tiene tasa de cambio constante; una cuadrática describe una parábola; una racional puede presentar discontinuidades; una exponencial cambia por factores multiplicativos y una logarítmica invierte ese crecimiento. Las funciones seno y coseno modelizan oscilaciones y repiten sus valores periódicamente.
En g(x)=f(x−h)+k, la gráfica de f se desplaza h unidades a la derecha y k hacia arriba. El signo dentro del argumento suele confundirse: f(x−2) desplaza a la derecha, no a la izquierda. Multiplicar por a fuera de f cambia la escala vertical; si a<0, también refleja respecto del eje horizontal. Un factor dentro del argumento cambia la escala horizontal en sentido inverso a su magnitud.
Cómo utilizarlo sin errores
La forma a(x−h)²+k muestra directamente el vértice de una parábola. Su concavidad depende del signo de a. En una exponencial b^x, con b>0 y b≠1, los valores son positivos, el dominio es todo real y la asíntota horizontal es y=0. Si b>1 crece; si 0<b<1 decrece. Al sumar una constante se desplazan tanto la gráfica como su asíntota.
En A sen(ωx+φ)+k, |A| es la amplitud y, si ω≠0, el periodo es 2π/|ω| cuando se trabaja en radianes. No es necesario dibujar cientos de puntos: localiza elementos estructurales y añade unos pocos puntos de control. El modelo elegido debe respetar el contexto; una recta no representa indefinidamente un crecimiento que no puede superar una capacidad física.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
g(x)=a f(x−h)+k. Parábola: y=a(x−h)²+k. Periodo de sen(ωx)=2π/|ω|, ω≠0.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Describe f(x)=−2(x−1)²+3 sin hacer una tabla extensa.
- Partimos de y=x², desplazamos una unidad a la derecha y multiplicamos por −2: reflexión y estiramiento vertical. Después subimos tres.
- El vértice es (1,3), la parábola abre hacia abajo y tiene máximo absoluto 3.
- Su recorrido es (−∞,3]. Además f(0)=1 y f(2)=1, dos puntos simétricos respecto de x=1.
Ejemplo 2 · Analiza g(x)=2^(x−1)+3.
- Es la exponencial 2^x desplazada una unidad a la derecha y tres hacia arriba.
- Su dominio es todo real, es creciente y su recorrido es (3,∞).
- La asíntota horizontal es y=3. Nunca alcanza ese valor porque 2^(x−1)>0.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Da vértice y recorrido de (x+2)²−5.
Primera ayuda
Escribe x+2 como x−(−2).
Ver solución razonada
El vértice es (−2,−5). Abre hacia arriba y su recorrido es [−5,∞).
Práctica 2 · Calcula amplitud y periodo de 3sen(2x).
Primera ayuda
Distingue el factor exterior del interior.
Ver solución razonada
La amplitud es 3 y el periodo es 2π/2=π.
Práctica 3 · Un valor se reduce a la mitad cada hora. Propón un modelo si parte de 80.
Primera ayuda
El factor de cambio por hora es 1/2.
Ver solución razonada
V(t)=80·(1/2)^t, con t≥0 en horas. A las tres horas vale 10. El modelo es exponencial decreciente, no lineal.
El error que debes evitar
No confundir desplazamiento horizontal y vertical. No llamar amplitud a un número negativo. No incluir la asíntota en el recorrido sin comprobarlo.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
f(x−3) desplaza la gráfica…
Solución y explicación
Respuesta: Tres a la derecha. El mismo valor de entrada de f se alcanza con una x tres unidades mayor.
La asíntota de 5^x+2 al ir x a −∞ es…
Solución y explicación
Respuesta: y=2. 5^x tiende a cero y la suma desplaza la asíntota.
La amplitud de −4cosx es…
Solución y explicación
Respuesta: 4. La amplitud es una distancia positiva: el valor absoluto del coeficiente.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué hace sumar k fuera de f?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Desplazar la gráfica verticalmente k unidades.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué informa a(x−h)²+k?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Vértice (h,k), apertura y escala de la parábola.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué caracteriza un modelo exponencial?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cambios por un factor constante en intervalos iguales de la variable.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué provoca un coeficiente exterior negativo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Reflexión respecto del eje horizontal, además de la escala por su valor absoluto.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Compara una disminución de 5 unidades por hora con una disminución del 5 % por hora. Escribe los dos modelos y explica por qué divergen.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.