Escribir rectas en varias formas y determinar intersecciones, paralelismo y perpendicularidad.
Míralo en un dibujo
Las rectas y=x e y=4−x se cortan en (2,2). Ese punto satisface las dos ecuaciones simultáneamente.
Antes de seguir: ¿Qué significaría que las rectas fuesen paralelas y distintas?
Comprueba tu razonamiento
Que no habría un punto común: el sistema sería incompatible.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Coordenadas; Sistemas de dos ecuaciones; Producto escalar.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué datos determinan una recta en forma vectorial?
Un punto y un vector director no nulo.
En un minuto
- Un punto y un vector director no nulo.
- Cuando la recta es vertical, porque no tiene pendiente finita.
- Sustituye el punto en las dos ecuaciones.
- (−b,a), o cualquier múltiplo no nulo.
Entiende la idea
El concepto
Una recta queda determinada por un punto P y un vector director v no nulo. Su ecuación vectorial es X=P+tv, donde el parámetro t recorre todos los reales. Al separar componentes aparecen las ecuaciones paramétricas. Esta forma incluye sin dificultad rectas verticales, que no pueden escribirse como y=mx+n con una pendiente finita.
La ecuación general ax+by+c=0 tiene un vector normal (a,b), perpendicular a la recta. Un director posible es (−b,a). Para que describa una recta, a y b no pueden ser ambos cero. En y=mx+n, m es la pendiente y n la ordenada en el origen. La forma punto-pendiente y−y₀=m(x−x₀) evita calcular primero n cuando se conoce un punto.
Cómo utilizarlo sin errores
Dos rectas del plano pueden ser secantes, paralelas distintas o coincidentes. Si sus directores no son paralelos, se cortan en un punto que se obtiene resolviendo un sistema. Si son paralelos, comprueba si comparten un punto: entonces coinciden; si no, son distintas. En forma general, comparar solo a y b detecta direcciones, pero el término independiente decide si se trata de la misma recta.
La perpendicularidad se comprueba con el producto escalar de directores. La regla m₁m₂=−1 solo se usa cuando ambas pendientes existen; una vertical es perpendicular a una horizontal y queda fuera de esa fórmula. Escoge la representación que facilite cada operación y comprueba cualquier punto de corte sustituyéndolo en las dos ecuaciones.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
(x,y)=(x₀,y₀)+t(v₁,v₂). ax+by+c=0, normal n=(a,b). y−y₀=m(x−x₀).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Escribe la recta por P=(1,−2) con director (3,4) en forma paramétrica y general.
- La forma paramétrica es x=1+3t, y=−2+4t.
- Un normal es (4,−3), ya que 4·3−3·4=0. La ecuación es 4(x−1)−3(y+2)=0.
- Simplificando: 4x−3y−10=0. El punto inicial verifica 4+6−10=0.
Ejemplo 2 · Halla la intersección de x+y=4 y 2x−y=2.
- Sumamos las ecuaciones para eliminar y: 3x=6, así que x=2.
- Sustituyendo en la primera, y=2.
- El punto (2,2) satisface también 2·2−2=2. Las rectas son secantes.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Escribe la recta vertical que pasa por (3,−1).
Primera ayuda
Todos sus puntos tienen la misma coordenada x.
Ver solución razonada
La recta es x=3. Una parametrización es (x,y)=(3,−1)+t(0,1). No tiene pendiente finita.
Práctica 2 · Estudia 2x−y+1=0 y 4x−2y+5=0.
Primera ayuda
Compara los coeficientes de las variables y el término independiente.
Ver solución razonada
Los coeficientes de x e y son proporcionales, pero multiplicar la primera ecuación por 2 daría término 2, no 5. Son paralelas distintas.
Práctica 3 · Halla la perpendicular a y=2x+1 que pasa por (0,3).
Primera ayuda
La nueva pendiente es −1/2.
Ver solución razonada
Usando punto-pendiente: y−3=(−1/2)x. Por tanto y=−x/2+3. Su pendiente multiplicada por 2 da −1.
El error que debes evitar
No confundir normal con director. No declarar coincidentes dos rectas solo porque tienen la misma pendiente. No aplicar m₁m₂=−1 a una pendiente inexistente.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
En ax+by+c=0, (a,b) es…
Solución y explicación
Respuesta: Un normal. Es perpendicular a todos sus directores.
La recta x=4 es…
Solución y explicación
Respuesta: Vertical. Mantiene fija la coordenada horizontal.
Dos rectas paralelas con un punto común…
Solución y explicación
Respuesta: Coinciden. Una misma dirección y un punto determinan una única recta.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué datos determinan una recta en forma vectorial?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Un punto y un vector director no nulo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuándo usar y=mx+n con cuidado?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cuando la recta es vertical, porque no tiene pendiente finita.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo comprobar una intersección?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Sustituye el punto en las dos ecuaciones.
Intenta responder antes de mirar.
¿Un director de ax+by+c=0?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
(−b,a), o cualquier múltiplo no nulo.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Convierte una recta a dos formas diferentes y explica qué información se ve inmediatamente en cada una.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
Consolida el tema completo
Abrir resumen, esquema y refuerzo de Geometría analítica
Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.