Utilizar vectores del plano para describir desplazamientos, longitudes, perpendicularidad y proyecciones.
Míralo en un dibujo
Se dibuja u=(3,1), v=(1,2) y su suma u+v=(4,3). El segundo vector se traslada al extremo del primero sin alterar sus componentes.
Antes de seguir: ¿Cambiaría la suma si dibujases v antes que u?
Comprueba tu razonamiento
No: la suma de vectores es conmutativa, aunque el recorrido dibujado cambie.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Coordenadas; Sistemas de dos ecuaciones; Producto escalar.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Cómo se detecta perpendicularidad entre vectores no nulos?
Su producto escalar es cero.
En un minuto
- Su producto escalar es cero.
- Dividiendo u por |u|.
- Cuando no son paralelos y, por tanto, son linealmente independientes.
- La escalar es una componente con signo; la vectorial incluye dirección y sentido.
Entiende la idea
El concepto
Un vector del plano representa una magnitud con dirección, sentido y módulo. Entre A=(a₁,a₂) y B=(b₁,b₂), el desplazamiento AB es (b₁−a₁,b₂−a₂). Cambiar el punto de aplicación sin alterar esas componentes conserva el vector libre. No hay que confundir un punto, que es una posición, con el desplazamiento entre dos puntos.
Los vectores se suman por componentes y se multiplican por escalares. Dos vectores no nulos son paralelos si uno es múltiplo del otro. El módulo de u=(u₁,u₂) es √(u₁²+u₂²). Para construir un vector unitario en su misma dirección se divide por el módulo; el vector nulo no puede normalizarse. En el plano, dos vectores no paralelos forman una base y permiten expresar cualquier vector como combinación lineal.
Cómo utilizarlo sin errores
El producto escalar u·v=u₁v₁+u₂v₂ es un número, no un vector. También vale |u||v|cosθ y permite calcular el ángulo entre vectores no nulos. Si su producto escalar es cero y ambos son no nulos, son perpendiculares. Si es positivo, el ángulo es agudo; si es negativo, obtuso. El producto del vector nulo con cualquiera vale cero, pero no define un ángulo.
La proyección escalar de u sobre la dirección de v es (u·v)/|v|. La proyección vectorial es ((u·v)/|v|²)v. Distinguir ambas evita errores de unidades o de interpretación. Estas ideas conectan con componentes de fuerzas, desplazamientos y trabajo en Física.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
AB=B−A. u·v=u₁v₁+u₂v₂=|u||v|cosθ. proy_v(u)=((u·v)/|v|²)v, v≠0.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Para u=(3,4) y v=(4,−3), calcula sus módulos y el ángulo entre ellos.
- Ambos módulos valen √25=5.
- El producto escalar es 3·4+4·(−3)=0. Como no son nulos, cosθ=0.
- El ángulo es 90°. Los vectores tienen igual longitud y direcciones perpendiculares.
Ejemplo 2 · Proyecta u=(3,4) sobre v=(1,0).
- u·v=3 y |v|²=1.
- La proyección vectorial es (3/1)(1,0)=(3,0). La proyección escalar es 3.
- La componente restante (0,4) es perpendicular a v: el vector original se separa en componentes horizontal y vertical.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula AB para A=(−1,2) y B=(3,5), y su módulo.
Primera ayuda
Resta coordenadas de destino menos origen.
Ver solución razonada
AB=(4,3) y |AB|=√(16+9)=5.
Práctica 2 · Encuentra k para que (2,k) y (3,−1) sean perpendiculares.
Primera ayuda
Iguala el producto escalar a cero.
Ver solución razonada
2·3+k·(−1)=0, luego 6−k=0 y k=6. Ambos vectores son no nulos.
Práctica 3 · Expresa (5,1) como combinación de (1,1) y (1,−1).
Primera ayuda
Plantea a(1,1)+b(1,−1)=(5,1).
Ver solución razonada
Las componentes dan a+b=5 y a−b=1. Sumando, 2a=6, así que a=3 y b=2. Por tanto (5,1)=3(1,1)+2(1,−1).
El error que debes evitar
No restar puntos en orden inverso. No confundir producto escalar y multiplicación por un escalar. No normalizar el vector nulo.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
El producto escalar produce…
Solución y explicación
Respuesta: Un número. Su resultado es un escalar.
Un vector unitario tiene módulo…
Solución y explicación
Respuesta: Uno. Se usa para describir una dirección sin cambiar escalas.
AB se calcula como…
Solución y explicación
Respuesta: B−A. El desplazamiento va desde el origen A hasta el destino B.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Cómo se detecta perpendicularidad entre vectores no nulos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Su producto escalar es cero.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se obtiene un unitario de u≠0?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Dividiendo u por |u|.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuándo dos vectores del plano forman una base?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cuando no son paralelos y, por tanto, son linealmente independientes.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué diferencia proyección escalar y vectorial?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La escalar es una componente con signo; la vectorial incluye dirección y sentido.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Interpreta un desplazamiento como combinación de dos direcciones y comprueba que la suma de las proyecciones recupera el vector cuando los ejes son ortogonales.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.