Matemáticas I · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Trigonometría
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Radianes y razones trigonométricas
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Ejercicio 1. Convierte 225° a radianes y determina su seno y coseno.
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Pista: Su ángulo de referencia es 45° y está en el tercer cuadrante.
Solución: 225°=5π/4. En el tercer cuadrante ambas coordenadas son negativas: sen=−√2/2 y cos=−√2/2.
Ejercicio 2. Si senθ=3/5 y θ pertenece al segundo cuadrante, calcula cosθ y tanθ.
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Pista: Usa la identidad fundamental y después el signo del cuadrante.
Solución: cos²θ=1−9/25=16/25. En el segundo cuadrante cosθ=−4/5. Por tanto tanθ=(3/5)/(−4/5)=−3/4.
Ejercicio 3. Un disco de radio 10 cm gira un ángulo π/3. ¿Qué distancia recorre un punto del borde?
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Pista: Se pide longitud de arco, no distancia recta entre posiciones.
Solución: s=rθ=10π/3 cm≈10,47 cm. La distancia recta sería una cuerda y no coincide con el recorrido sobre la circunferencia.
Identidades y ecuaciones trigonométricas
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Ejercicio 4. Resuelve cosx=−1/2 en [0,2π).
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Pista: El coseno es negativo en los cuadrantes segundo y tercero.
Solución: Los ángulos con referencia π/3 son 2π/3 y 4π/3. Ambos tienen coseno −1/2.
Ejercicio 5. Calcula exactamente sen75°.
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Pista: Escribe 75°=45°+30°.
Solución: sen75°=sen45°cos30°+cos45°sen30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4.
Ejercicio 6. Resuelve tanx=1 en los reales.
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Pista: La tangente tiene periodo π.
Solución: Una solución es π/4. Todas son x=π/4+kπ, con k entero. En esos ángulos el coseno no se anula.
Resolución de triángulos
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Ejercicio 7. Una escalera de 6 m forma 60° con el suelo. Calcula la altura alcanzada.
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Pista: La escalera es la hipotenusa.
Solución: La altura es 6sen60°=3√3 m≈5,20 m. La separación horizontal sería 6cos60°=3 m.
Ejercicio 8. Un triángulo tiene lados 3, 4 y 5. Calcula el ángulo opuesto al lado 5.
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Pista: Aplica el teorema del coseno despejando el coseno.
Solución: cosC=(3²+4²−5²)/(2·3·4)=0. Entonces C=90° y el triángulo es rectángulo.
Ejercicio 9. ¿Pueden los lados 2 cm, 3 cm y 6 cm formar un triángulo?
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Pista: La suma de los dos menores debe superar al mayor.
Solución: No. 2+3=5<6. Los segmentos no pueden cerrar un triángulo; no tiene sentido seguir calculando ángulos.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.