Calcular potencias y todas las raíces de un complejo mediante su representación polar.
Míralo en un dibujo
Las tres raíces cúbicas de 1 están en la circunferencia unidad con argumentos 0°, 120° y 240°. Entre raíces consecutivas hay 120°.
Antes de seguir: ¿Cuántas raíces cuartas distintas tiene un complejo no nulo?
Comprueba tu razonamiento
Cuatro; sus argumentos consecutivos se separan 360°/4=90°.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Potencias; Trigonometría; Coordenadas en el plano.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué hace una potencia al argumento?
Lo multiplica por el exponente.
En un minuto
- Lo multiplica por el exponente.
- 2π/n.
- Una: w=0, aunque su multiplicidad es n.
- Elevándolas a n o revisando que sus módulos y argumentos producen el original.
Entiende la idea
El concepto
La forma polar convierte la multiplicación repetida en una operación sencilla. Si z=r(cosθ+i senθ), su potencia n-ésima tiene módulo r^n y argumento nθ. Esta es la fórmula de De Moivre para exponentes enteros; si se usan exponentes negativos, z no puede ser cero. Tras calcular un argumento grande, puede reducirse sumando o restando vueltas completas.
Hallar las raíces n-ésimas de un complejo no nulo significa encontrar todos los w que cumplen w^n=z. El módulo de cada raíz debe ser la raíz n-ésima positiva de r. Los argumentos se obtienen repartiendo θ y todas sus vueltas posibles entre n. Basta tomar k=0,1,…,n−1: esos valores proporcionan n raíces distintas. Continuar con k=n repite la primera.
Cómo utilizarlo sin errores
Las raíces quedan igualmente espaciadas en una circunferencia y forman los vértices de un polígono regular. Esta interpretación sirve para comprobar que no falta ninguna y que sus módulos coinciden. Cuando el número original es cero, la única raíz como valor es cero; si se estudia el polinomio w^n, esa raíz tiene multiplicidad n.
Hay que distinguir resolver w²=9 de calcular la raíz cuadrada principal √9. La ecuación tiene soluciones 3 y −3; el radical real principal devuelve 3. En complejos, hablar de todas las raíces exige mostrar la familia completa, no solo el valor principal de una herramienta digital. Comprueba elevando cada candidato o usando módulo y argumento.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
[r(cosθ+i senθ)]^n=r^n(cos(nθ)+i sen(nθ)). w_k=r^(1/n)[cos((θ+2kπ)/n)+i sen((θ+2kπ)/n)].
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Calcula (1+i)^4.
- 1+i tiene módulo √2 y argumento π/4.
- La cuarta potencia tiene módulo (√2)^4=4 y argumento π.
- Por tanto, (1+i)^4=4(cosπ+i senπ)=−4. También se verifica usando (1+i)²=2i y (2i)²=−4.
Ejemplo 2 · Obtén todas las soluciones de w³=8.
- Escribimos 8 con módulo 8 y argumento 0. Las raíces tienen módulo 2.
- Sus argumentos son 0, 2π/3 y 4π/3.
- En forma binómica: w=2, w=−1+√3i y w=−1−√3i. Son tres puntos equidistantes sobre la circunferencia de radio 2.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Resuelve w⁴=16.
Primera ayuda
El módulo de las raíces es 2 y los argumentos se separan π/2.
Ver solución razonada
Las soluciones son 2, 2i, −2 y −2i. Las cuatro elevadas a la cuarta potencia dan 16.
Práctica 2 · Calcula (√3+i)^3.
Primera ayuda
Su módulo es 2 y su argumento π/6.
Ver solución razonada
La potencia tiene módulo 8 y argumento π/2. El resultado es 8i.
Práctica 3 · Halla las raíces cuadradas de −9.
Primera ayuda
Usa módulo 9 y argumento π.
Ver solución razonada
Las raíces tienen módulo 3 y argumentos π/2 y 3π/2. Son 3i y −3i; ambas cumplen w²=−9.
El error que debes evitar
No olvidar las vueltas 2kπ antes de dividir el argumento. No confundir raíz principal con todas las soluciones. No multiplicar el módulo por n en lugar de elevarlo.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Un complejo no nulo tiene, como valores distintos, …
Solución y explicación
Respuesta: Tres raíces cúbicas. La fórmula genera tres argumentos distintos módulo 2π.
Las raíces n-ésimas de z≠0 tienen…
Solución y explicación
Respuesta: El mismo módulo. Todas se sitúan en una circunferencia de radio |z|^(1/n).
Para enumerarlas sin repetir se usa…
Solución y explicación
Respuesta: k=0,…,n−1. Esos n valores cubren una vuelta completa.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué hace una potencia al argumento?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Lo multiplica por el exponente.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuál es la separación angular entre raíces n-ésimas consecutivas?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
2π/n.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuántas raíces distintas tiene w^n=0?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Una: w=0, aunque su multiplicidad es n.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo comprobar raíces complejas?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Elevándolas a n o revisando que sus módulos y argumentos producen el original.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Representa las raíces cuartas de 16 y explica por qué forman un cuadrado centrado en el origen.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.