Pasar entre las formas binómica, polar y trigonométrica y relacionarlas con transformaciones del plano.
Míralo en un dibujo
z=3+2i tiene módulo √13 y argumento arctan(2/3), en el primer cuadrante. La forma polar expresa distancia y orientación.
Antes de seguir: ¿Basta con arctan(y/x) para conocer siempre el cuadrante?
Comprueba tu razonamiento
No. Debes considerar los signos de ambas coordenadas; el cociente por sí solo pierde esa información.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Potencias; Trigonometría; Coordenadas en el plano.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué mide el módulo?
La distancia al origen del punto que representa el complejo.
En un minuto
- La distancia al origen del punto que representa el complejo.
- Añadir 2kπ representa la misma dirección.
- Girar 90° en sentido antihorario conservando el módulo.
- Hay que recuperar el cuadrante y tratar a=0 aparte.
Entiende la idea
El concepto
Un complejo z=a+bi se representa por el punto (a,b) del plano. Su módulo es la distancia al origen, |z|=√(a²+b²), y su argumento es un ángulo que sitúa ese punto respecto del eje real positivo. El módulo es único y no negativo, pero un argumento puede aumentarse en cualquier múltiplo entero de 2π sin cambiar el punto. Para z=0, el módulo es cero y no hay argumento definido.
La forma trigonométrica escribe z=r(cosθ+i senθ), con r=|z|. La forma polar resume esa información como módulo y argumento; algunas notaciones escolares usan r subíndice θ. Para volver a la forma binómica se calculan a=r cosθ y b=r senθ. Para obtener el argumento a partir de a y b, no basta con arctan(b/a): hay que identificar el cuadrante y tratar por separado a=0.
Cómo utilizarlo sin errores
La multiplicación de complejos no nulos multiplica módulos y suma argumentos. Geométricamente equivale a una ampliación y un giro. La división divide módulos y resta argumentos. Multiplicar por i gira un punto 90° en sentido positivo, sin cambiar su distancia al origen. Multiplicar por un real positivo escala; por un real negativo añade un giro de 180°.
La forma binómica suele ser más cómoda para sumar y la polar para multiplicar muchas veces o hallar raíces. Elegir representación es parte del procedimiento, no una cuestión decorativa. Especifica grados o radianes y el convenio para el argumento principal. Aquí puede usarse (−π,π] o [0,2π), siempre que se indique y se mantenga.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
|a+bi|=√(a²+b²). z=r(cosθ+i senθ). |zw|=|z||w|; arg(zw)=argz+argw, módulo 2π.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Escribe z=−√3+i en forma trigonométrica con θ en [0,2π).
- El módulo es √(3+1)=2. Las coordenadas sitúan z en el segundo cuadrante.
- cosθ=−√3/2 y senθ=1/2, luego θ=5π/6.
- Así, z=2(cos(5π/6)+i sen(5π/6)).
Ejemplo 2 · Interpreta el producto i(2−3i).
- Al operar en forma binómica, i(2−3i)=2i−3i²=3+2i.
- El vector (2,−3) se ha transformado en (3,2), un giro positivo de 90°.
- Ambos módulos son √13. La multiplicación por i no modifica la longitud.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Escribe 1−i en forma trigonométrica usando un argumento en (−π,π].
Primera ayuda
Está en el cuarto cuadrante.
Ver solución razonada
El módulo es √2 y el argumento principal es −π/4. Por tanto z=√2(cos(−π/4)+i sen(−π/4)).
Práctica 2 · Pasa 4(cos(π/3)+i sen(π/3)) a forma binómica.
Primera ayuda
Multiplica el módulo por cada razón trigonométrica.
Ver solución razonada
La parte real es 4·1/2=2 y la imaginaria 4·√3/2=2√3. Resultado: 2+2√3i.
Práctica 3 · Dos complejos tienen módulos 2 y 3, y argumentos π/6 y π/3. Da módulo y argumento del producto.
Primera ayuda
Multiplica módulos y suma ángulos.
Ver solución razonada
El módulo es 6 y un argumento es π/2. El producto es 6i.
El error que debes evitar
No olvidar el cuadrante. No sumar módulos para sumar complejos. No atribuir al cero un argumento único.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
El argumento del complejo cero…
Solución y explicación
Respuesta: No está definido. No hay dirección privilegiada para el punto situado en el origen.
Al multiplicar complejos, los argumentos…
Solución y explicación
Respuesta: Se suman. La composición de giros suma los ángulos.
La forma más cómoda para sumar complejos suele ser…
Solución y explicación
Respuesta: La binómica. Se pueden sumar directamente las dos componentes.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué mide el módulo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La distancia al origen del punto que representa el complejo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué un argumento no es único?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Añadir 2kπ representa la misma dirección.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hace multiplicar por i?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Girar 90° en sentido antihorario conservando el módulo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué cuidado requiere arctan(b/a)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Hay que recuperar el cuadrante y tratar a=0 aparte.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Elige un punto, multiplícalo por −1 y por i, y comprueba con sus coordenadas los giros de 180° y 90°.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.