Operar con números complejos en forma binómica y resolver ecuaciones sin raíces reales.
Míralo en un dibujo
El complejo z=3+2i se representa mediante el punto (3,2) del plano complejo. El eje horizontal es la parte real y el vertical, la imaginaria.
Antes de seguir: ¿Dónde se situaría su conjugado?
Comprueba tu razonamiento
En (3,−2), reflejado respecto al eje real: el conjugado es 3−2i.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Potencias; Trigonometría; Coordenadas en el plano.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Cuánto vale i²?
−1.
En un minuto
- −1.
- Sumando por separado partes reales e imaginarias.
- Para convertir el denominador en un real positivo, salvo que sea cero.
- Aparecen como una pareja de complejos conjugados.
Entiende la idea
El concepto
La ecuación x²+1=0 no tiene soluciones reales. Para ampliar el sistema numérico se introduce la unidad imaginaria i, definida por i²=−1. Un número complejo se escribe z=a+bi, donde a y b son reales. Su parte real es a y su parte imaginaria es b, no bi. Los reales quedan incluidos como los complejos con b=0.
Dos complejos son iguales cuando coinciden sus partes reales e imaginarias. Para sumarlos o restarlos se agrupan las componentes semejantes. Al multiplicar se aplica la propiedad distributiva y se sustituye i² por −1. Las potencias de i se repiten cada cuatro exponentes: i, −1, −i, 1. Esto permite reducir exponentes grandes al resto de su división entre cuatro.
Cómo utilizarlo sin errores
El conjugado de z=a+bi es a−bi. Su producto con z vale a²+b², un real no negativo. Esta propiedad permite dividir complejos: se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, siempre que este no sea cero. No se dividen las partes por separado. La operación se parece a racionalizar, pero aprovecha i²=−1.
Las ecuaciones polinómicas pueden tener soluciones complejas. En una cuadrática de coeficientes reales con discriminante negativo, la fórmula da una pareja de conjugados. Es importante no extender sin cuidado reglas de radicales reales a negativos: √(−1)·√(−1)=−1, mientras que √((-1)(-1))=1. Trabaja con i explícitamente para evitar esa falsa equivalencia.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
i²=−1. (a+bi)(a−bi)=a²+b². (a+bi)/(c+di)=((a+bi)(c−di))/(c²+d²), c+di≠0.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Calcula (2+3i)(1−2i).
- Distribuimos: 2−4i+3i−6i².
- Como i²=−1, −6i²=6. Reuniendo componentes obtenemos 8−i.
- La parte real es 8 y la parte imaginaria es −1.
Ejemplo 2 · Calcula (3+4i)/(1−i).
- Multiplicamos arriba y abajo por 1+i. El denominador queda (1−i)(1+i)=2.
- El numerador es (3+4i)(1+i)=3+7i+4i²=−1+7i.
- Resultado: −1/2+(7/2)i. Comprobarlo multiplicando por 1−i devuelve 3+4i.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula i^2026.
Primera ayuda
Reduce el exponente módulo 4.
Ver solución razonada
2026=4·506+2; entonces i^2026=i²=−1.
Práctica 2 · Resuelve z²+4z+13=0.
Primera ayuda
El discriminante es negativo.
Ver solución razonada
Δ=16−52=−36. z=(−4±6i)/2=−2±3i. Al sustituir, ambas raíces anulan el polinomio.
Práctica 3 · Escribe 1/(2+i) en forma binómica.
Primera ayuda
Multiplica por el conjugado 2−i.
Ver solución razonada
1/(2+i)=(2−i)/((2+i)(2−i))=(2−i)/5=2/5−i/5.
El error que debes evitar
No reemplazar i² por 1. No dividir componente a componente. No aplicar √a√b=√(ab) a negativos como si se tratara de raíces reales.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La parte imaginaria de 4−3i es…
Solución y explicación
Respuesta: −3. En a+bi, la parte imaginaria es el coeficiente real b.
El conjugado de −2+5i es…
Solución y explicación
Respuesta: −2−5i. Solo cambia el signo de la componente imaginaria.
El producto (1+i)(1−i) vale…
Solución y explicación
Respuesta: 2. Es 1−i²=1−(−1)=2.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Cuánto vale i²?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
−1.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se suman complejos binómicos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Sumando por separado partes reales e imaginarias.
Intenta responder antes de mirar.
¿Para qué sirve el conjugado al dividir?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Para convertir el denominador en un real positivo, salvo que sea cero.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué ocurre con raíces no reales de una cuadrática real?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Aparecen como una pareja de complejos conjugados.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Representa las raíces −2±3i como dos puntos simétricos respecto del eje real. Relaciona esa simetría con la conjugación.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.