Relacionar radianes, circunferencia unidad y razones trigonométricas con sus signos y periodicidad.
Míralo en un dibujo
Circunferencia de radio 1. Para θ=30°, el punto es (√3/2, 1/2): el coseno es la coordenada horizontal y el seno es la vertical.
Antes de seguir: ¿Qué coordenada se mantiene al pasar de 30° a 150°?
Comprueba tu razonamiento
La vertical: ambos ángulos tienen seno 1/2. El coseno cambia de signo.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Triángulos y semejanza; Teorema de Pitágoras; Despeje de ecuaciones.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué coordenadas tiene un punto de la circunferencia unidad?
(cosθ, senθ).
En un minuto
- (cosθ, senθ).
- En radianes.
- 2π radianes, equivalentes a 360°.
- Mediante el cuadrante y la interpretación como coordenadas o cociente.
Entiende la idea
El concepto
Un radián es el ángulo central que abarca un arco de longitud igual al radio. Como la circunferencia completa mide 2πr, una vuelta son 2π radianes y también 360 grados. El radián permite relacionar directamente ángulo y longitud: s=rθ cuando θ se expresa en radianes. Mezclar grados con esa fórmula produce resultados incorrectos aunque la calculadora no avise.
En la circunferencia de radio uno, el punto asociado al ángulo θ tiene coordenadas (cosθ,senθ). Esto extiende las razones trigonométricas más allá del triángulo rectángulo: permite ángulos negativos o superiores a una vuelta. El coseno es la coordenada horizontal y el seno la vertical. Por ello, sus signos dependen del cuadrante. La tangente es senθ/cosθ y no está definida cuando cosθ=0.
Cómo utilizarlo sin errores
Los valores de 30°, 45° y 60° se obtienen de triángulos conocidos. A partir de ellos y de las simetrías se calculan otros ángulos sin memorizarlos uno a uno. Por ejemplo, 150° tiene el mismo seno que 30°, pero su coseno es negativo porque se encuentra en el segundo cuadrante. Seno y coseno repiten valores cada 2π; la tangente tiene periodo π.
Una razón trigonométrica no determina un ángulo único en toda la recta. Las funciones inversas de la calculadora devuelven un valor principal, no todas las soluciones de una ecuación. Antes de calcular, decide si el ejercicio trabaja en grados o radianes, fija el intervalo pedido y dibuja el cuadrante. Una aproximación como sen30°=0,5 es exacta; otras cifras de la calculadora son redondeos.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
180°=π rad. s=rθ. sen²θ+cos²θ=1. tanθ=senθ/cosθ, si cosθ≠0.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Convierte 150° a radianes y calcula seno, coseno y tangente.
- 150°·π/180°=5π/6. El ángulo está en el segundo cuadrante y su ángulo de referencia es 30°.
- sen(5π/6)=1/2 y cos(5π/6)=−√3/2.
- La tangente es (1/2)/(−√3/2)=−1/√3=−√3/3.
Ejemplo 2 · Un arco de circunferencia tiene radio 4 cm y ángulo central 1,2 rad. Calcula su longitud y el área del sector.
- Como el ángulo ya está en radianes, s=rθ=4·1,2=4,8 cm.
- El área del sector es A=r²θ/2=16·1,2/2=9,6 cm².
- La longitud usa centímetros y el área centímetros cuadrados; el ángulo no se introduce como 1,2 grados.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Convierte 225° a radianes y determina su seno y coseno.
Primera ayuda
Su ángulo de referencia es 45° y está en el tercer cuadrante.
Ver solución razonada
225°=5π/4. En el tercer cuadrante ambas coordenadas son negativas: sen=−√2/2 y cos=−√2/2.
Práctica 2 · Si senθ=3/5 y θ pertenece al segundo cuadrante, calcula cosθ y tanθ.
Primera ayuda
Usa la identidad fundamental y después el signo del cuadrante.
Ver solución razonada
cos²θ=1−9/25=16/25. En el segundo cuadrante cosθ=−4/5. Por tanto tanθ=(3/5)/(−4/5)=−3/4.
Práctica 3 · Un disco de radio 10 cm gira un ángulo π/3. ¿Qué distancia recorre un punto del borde?
Primera ayuda
Se pide longitud de arco, no distancia recta entre posiciones.
Ver solución razonada
s=rθ=10π/3 cm≈10,47 cm. La distancia recta sería una cuerda y no coincide con el recorrido sobre la circunferencia.
El error que debes evitar
No dejar la calculadora en DEG al trabajar con radianes. No confundir longitud de arco con cuerda. No elegir el signo de una raíz sin mirar el cuadrante.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Una vuelta completa equivale a…
Solución y explicación
Respuesta: 2π rad. 360° corresponden a 2π radianes.
En el segundo cuadrante, cosθ es…
Solución y explicación
Respuesta: Negativo. La coordenada horizontal del punto es negativa.
La tangente no está definida cuando…
Solución y explicación
Respuesta: cosθ=0. Es un cociente con cosθ como denominador.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué coordenadas tiene un punto de la circunferencia unidad?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
(cosθ, senθ).
Intenta responder antes de mirar.
¿En qué unidad debe estar θ para s=rθ?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
En radianes.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuál es el periodo del seno y del coseno?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
2π radianes, equivalentes a 360°.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se decide el signo de una razón trigonométrica?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Mediante el cuadrante y la interpretación como coordenadas o cociente.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Explica por qué sen(θ+2π)=senθ usando un giro completo sobre la circunferencia, sin recurrir a una fórmula memorizada.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.