Representar conjuntos de números y resolver restricciones mediante intervalos y distancias.
Míralo en un dibujo
En la recta se marca [−1,4]: los dos extremos están incluidos. Equivale a −1≤x≤4 y a |2x−3|≤5.
Antes de seguir: ¿Entraría el 4 si el extremo derecho fuese abierto?
Comprueba tu razonamiento
No. El círculo vacío indica que ese extremo no pertenece al intervalo.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Operar con signos; Fracciones y prioridad de operaciones; Interpretar una recta numérica.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué representa |x−a|?
La distancia entre x y a en la recta real.
En un minuto
- La distancia entre x y a en la recta real.
- Al multiplicar o dividir ambos miembros por una cantidad negativa.
- No. El infinito no es un extremo real incluido.
- Intersección: deben cumplirse las dos.
Entiende la idea
El concepto
Un número real puede situarse en una recta. Los racionales se expresan como cociente de enteros, con denominador distinto de cero; su desarrollo decimal termina o es periódico. Los irracionales, como √2, tienen un desarrollo decimal infinito no periódico. Una aproximación decimal no convierte un irracional en racional: 1,414 es una aproximación, no el valor exacto de √2.
Un intervalo recoge todos los reales comprendidos entre sus extremos. Los corchetes incluyen un extremo y los paréntesis lo excluyen. En (−∞,3] se admite el 3 y cualquier número menor; el infinito nunca se incluye, porque no es un número real que pueda alcanzarse. La unión reúne los números que pertenecen a uno u otro conjunto. La intersección exige pertenecer a los dos: esta será la operación habitual al combinar restricciones de dominio.
Cómo utilizarlo sin errores
El valor absoluto |x| representa la distancia de x al cero, por eso nunca es negativo. La expresión |x−a| es la distancia entre x y a. Para r positivo, |x−a|<r describe los puntos interiores al intervalo centrado en a de radio r. En cambio, |x−a|>r describe dos zonas exteriores. No se elimina el valor absoluto conservando una única desigualdad.
Para resolver una desigualdad puedes sumar lo mismo en ambos miembros. Al multiplicar o dividir por un número negativo debes invertir su sentido. Antes de operar con una expresión de signo desconocido, estudia sus posibles signos. Comprueba el resultado eligiendo un punto de cada zona y sustituyéndolo en la condición original.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
|x−a|≤r ⇔ a−r≤x≤a+r, si r≥0. |x−a|≥r ⇔ x≤a−r o x≥a+r, si r≥0.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Resuelve |2x−3|≤5 y escribe el resultado como intervalo.
- La condición equivale a −5≤2x−3≤5. Se escriben las dos desigualdades, porque es una distancia acotada.
- Sumamos 3 en los tres miembros: −2≤2x≤8. Dividimos entre 2, que es positivo: −1≤x≤4.
- La solución es [−1,4]. En x=−1 y x=4 el valor absoluto vale 5, por eso los extremos se incluyen.
Ejemplo 2 · Combina las restricciones x>−2 y x≤3, y calcula su intersección con [1,5).
- Las dos primeras restricciones forman (−2,3].
- La intersección con [1,5) conserva los números admitidos por ambos intervalos: [1,3].
- El 1 está incluido en los dos conjuntos y el 3 también. Un número como 4 queda excluido por la primera restricción.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Resuelve |x+1|<3.
Primera ayuda
Identifica el centro: x+1=x−(−1).
Ver solución razonada
−3<x+1<3. Al restar 1 resulta −4<x<2; por tanto, (−4,2).
Práctica 2 · Resuelve −2x+1≥7.
Primera ayuda
Recuerda qué ocurre al dividir entre −2.
Ver solución razonada
−2x≥6. Al dividir entre un número negativo cambia el sentido: x≤−3, es decir, (−∞,−3].
Práctica 3 · Un instrumento acepta una lectura x si su distancia a 20 no supera 0,4. Escribe la condición y el intervalo.
Primera ayuda
La tolerancia funciona como radio alrededor de 20.
Ver solución razonada
La condición es |x−20|≤0,4. Se acepta 19,6≤x≤20,4: [19,6;20,4]. El punto y coma separa los extremos para no confundirlos con las comas decimales.
El error que debes evitar
No confundir √(x²) con x: es |x|. No tratar una aproximación como igualdad exacta. No olvidar cambiar el sentido al dividir por un número negativo.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
¿Qué intervalo representa x<2?
Solución y explicación
Respuesta: (−∞,2). La desigualdad es estricta y el infinito siempre lleva paréntesis.
La intersección de [0,4] y (2,6) es…
Solución y explicación
Respuesta: (2,4]. Hay que cumplir las dos pertenencias; el 2 queda fuera del segundo conjunto.
Si |x−3|=2, las soluciones son…
Solución y explicación
Respuesta: 1 y 5. Los puntos a distancia 2 del centro 3 son 3−2 y 3+2.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué representa |x−a|?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La distancia entre x y a en la recta real.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuándo se invierte una desigualdad?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Al multiplicar o dividir ambos miembros por una cantidad negativa.
Intenta responder antes de mirar.
¿Se usa un corchete junto a infinito?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No. El infinito no es un extremo real incluido.
Intenta responder antes de mirar.
¿Unión o intersección para cumplir dos restricciones simultáneamente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Intersección: deben cumplirse las dos.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Dibuja la recta de tu solución antes de darla por terminada. Explica con palabras qué números quedan dentro y prueba un valor permitido y otro prohibido.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.