Tres ideas para ver el tema con claridad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I · Unidad 5
Una decisión óptima necesita comparar candidatos dentro de lo que el problema permite.
Lecciones del tema
Resumen y esquema de decisión
Una decisión óptima necesita comparar candidatos dentro de lo que el problema permite.
- Construye la función objetivo.
- Especifica restricciones y unidades.
- Calcula derivada y estudia signos.
- Contrasta candidatos y extremos, y redondea solo si la variable es discreta.
01 · Tasa de variación y derivada
Interpretar tasas medias, derivadas y magnitudes marginales con sus unidades y limitaciones.
- Unidades de la salida divididas por unidades de la entrada.
- No: C(q)/q frente a C′(q).
02 · Reglas de derivación básicas
Derivar funciones básicas y compuestas habituales en modelos sociales y económicos.
- ln b: la derivada es b^x ln b, con b>0.
- Hay una función exterior actuando sobre una expresión interior.
03 · Crecimiento, extremos y optimización
Determinar extremos y optimizar ingresos, beneficios o costes respetando el dominio del modelo.
- Hay que clasificar y comparar dentro del dominio.
- El beneficio descuenta costes, que pueden cambiar la cantidad elegida.
Formulario del tema
Tasa de variación y derivada
Reglas de derivación básicas
Crecimiento, extremos y optimización
Refuerzo 1 · Recuperación activa
Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.
¿Coste medio y marginal son iguales?
No: C(q)/q frente a C′(q).
¿Cómo se reconoce una cadena?
Hay una función exterior actuando sobre una expresión interior.
¿Qué distingue ingreso y beneficio óptimos?
El beneficio descuenta costes, que pueden cambiar la cantidad elegida.
Refuerzo 2 · Detecta el error
Una resolución afirma: Si el coste marginal es positivo, el beneficio siempre disminuye.
Localiza el fallo, explica por qué no es válido y corrígelo antes de abrir la respuesta.
Contrastar mi corrección
El beneficio depende también del ingreso marginal: B′=I′−C′. Puede crecer aunque el coste crezca, si el ingreso crece más.
Refuerzo 3 · Reto de transferencia
B(q)=−q²+12q−20 para 0≤q≤10. Halla la producción de beneficio máximo y su valor.
Ver desarrollo y comprobación
B′=12−2q se anula en 6. B′′=−2 confirma concavidad y 6 pertenece al dominio. B(6)=16, frente a B(0)=−20 y B(10)=0.
Refuerzo 4 · Minitest mixto
Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.
El coste marginal se asocia a…
Solución y explicación
Respuesta: C′(q). Es una tasa de cambio, no un coste medio.
La derivada de 7 es…
Solución y explicación
Respuesta: 0. Es una cantidad constante.
Para maximizar beneficio se deriva…
Solución y explicación
Respuesta: I−C. Debe construirse la magnitud que realmente se pide optimizar.
Una derivada negativa significa…
Solución y explicación
Respuesta: Disminución local. El signo de la tendencia no determina el signo del nivel.
La derivada de ln(3x) para x>0 es…
Solución y explicación
Respuesta: 1/x. La cadena da 3/(3x)=1/x.
Un cambio de signo + a − en f′ indica…
Solución y explicación
Respuesta: Máximo local. La función pasa de aumentar a disminuir.
Una tasa media utiliza…
Solución y explicación
Respuesta: Dos valores de entrada. Compara un intervalo mediante su cambio total.
Para derivar un producto se usa…
Solución y explicación
Respuesta: u′v+uv′. Cada factor se deriva por turno mientras el otro se conserva.
Los bordes de un intervalo cerrado…
Solución y explicación
Respuesta: Deben compararse. Un extremo absoluto puede encontrarse en ellos.
Refuerzo 5 · Flashcards del tema
Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.
¿Qué unidades tiene una derivada?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Unidades de la salida divididas por unidades de la entrada.
Intenta responder antes de mirar.
¿Coste medio y marginal son iguales?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: C(q)/q frente a C′(q).
Intenta responder antes de mirar.
¿La derivada da siempre el incremento exacto de una unidad?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No; suele aproximarlo cuando el modelo cambia suavemente.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué representa una tangente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Una aproximación lineal local con pendiente f′(a).
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué factor aparece al derivar b^x?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
ln b: la derivada es b^x ln b, con b>0.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se reconoce una cadena?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Hay una función exterior actuando sobre una expresión interior.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué signo suele perderse en un cociente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El menos que precede a uv′.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué conservar el dominio original?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La simplificación o la derivada no redefine el modelo en puntos excluidos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué no basta resolver f′=0?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Hay que clasificar y comparar dentro del dominio.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué distingue ingreso y beneficio óptimos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El beneficio descuenta costes, que pueden cambiar la cantidad elegida.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo tratar cantidades enteras?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Evaluando opciones enteras admisibles, no redondeando ciegamente.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué debe incluir la respuesta final?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La decisión, el valor objetivo, las unidades y su justificación.
Intenta responder antes de mirar.
Refuerzo 6 · Mezcla con un tema anterior
Cambia de procedimiento para comprobar si puedes elegirlo sin que el título del tema te lo indique.
Calcula lim(x→2)(3x²−x+4).
Comparar mi solución
Sustituyendo: 12−2+4=14.
Una tarifa cobra 5x para x<10 y 4x para x≥10. ¿Es continua en 10?
Comparar mi solución
El límite izquierdo es 50 y el derecho y el valor son 40. Hay un salto descendente de 10 €, no una tarifa marginal continua.
Un plan de repaso adaptable
Hoy: haz el reto y registra el error. En 1 día: recupera las tarjetas difíciles. En 3 días: resuelve de nuevo sin mirar. En 7 días: mezcla este tema con otro. En 14 días: revisa lo que siga costando. Adelanta o retrasa sesiones según el examen y tu recuerdo real; estas fechas son una pauta, no una receta óptima universal.
Marca «lo recordaba» solo si pudiste responder antes de ver la solución. Estudiar no consiste en pasar tarjetas rápidamente.
Mi registro de errores
Se guarda solo en este navegador.
Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.
Recursos para dominar este tema
Cuando termines las lecciones, utiliza estos cuatro recursos según lo que necesites: repasar, practicar, comprobarte o corregir errores.