Construir modelos de oferta, demanda, costes e ingresos y distinguir sus puntos de equilibrio.
Míralo en un dibujo
Coste C(x)=2x+4 e ingreso I(x)=4x. Se igualan en x=2 y valen 8. Para x>2, en este modelo, el ingreso supera al coste.
Antes de seguir: ¿El punto de equilibrio significa beneficio máximo?
Comprueba tu razonamiento
No. Significa beneficio cero: ingreso y coste son iguales. El máximo necesita un estudio distinto y un dominio.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Ecuaciones lineales; Unidades; Lectura de enunciados.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué representa I=pq?
Los ingresos obtenidos al vender q unidades al precio p por unidad.
En un minuto
- Los ingresos obtenidos al vender q unidades al precio p por unidad.
- Ingresos y costes coinciden; no implica actividad nula.
- No negatividad y, según el contexto, enteros y capacidad máxima.
- Una fórmula de demanda puede dar precios negativos fuera de su rango útil.
Entiende la idea
El concepto
Un modelo económico elemental relaciona cantidades mediante funciones que simplifican la realidad. Si q es la cantidad vendida y p el precio por unidad, los ingresos son I=pq. Cuando el precio depende de la cantidad, debe sustituirse p(q) antes de calcular I(q). El coste puede incluir una parte fija, que existe incluso sin producir, y otra variable asociada a cada unidad.
El beneficio es B(q)=I(q)−C(q). El punto de equilibrio de beneficio se obtiene igualando ingresos y costes; no significa que el ingreso sea cero. Un modelo puede tener varios umbrales de beneficio si ingresos o costes no son lineales. El dominio contextual suele exigir q≥0, precios no negativos y, a veces, capacidad máxima o cantidades enteras.
Cómo utilizarlo sin errores
Las funciones de oferta y demanda relacionan precio y cantidad desde perspectivas diferentes. Su intersección define un equilibrio del modelo: una misma cantidad y un mismo precio satisfacen ambas relaciones. Ese equilibrio no es el mismo que el umbral de rentabilidad de una empresa. Conviene nombrar cada problema con precisión para no resolver la igualdad equivocada.
Una fórmula debe interpretarse con sus unidades. Si C(q)=100+4q, el 100 representa coste fijo y el 4 coste variable por unidad. Extrapolar mucho más allá del intervalo para el que se propuso el modelo puede producir cantidades o precios absurdos. Los ejemplos son ficticios y sirven para aprender modelización: no describen previsiones de mercado ni recomendaciones comerciales.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
I(q)=p(q)q. B(q)=I(q)−C(q). Umbral de beneficio: I(q)=C(q). Equilibrio oferta-demanda: p_o(q)=p_d(q).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Una actividad tiene C(q)=100+4q e ingresos I(q)=9q. Calcula el umbral y el beneficio con 35 unidades.
- B(q)=9q−(100+4q)=5q−100.
- El umbral resuelve 5q−100=0: q=20. En ese punto ingresos y costes valen 180.
- Con q=35, B=175−100=75 unidades monetarias. Para cantidades enteras, el beneficio positivo empieza en 21.
Ejemplo 2 · La oferta es p=2q+10 y la demanda p=70−q. Halla el equilibrio.
- Igualamos los precios: 2q+10=70−q.
- 3q=60, así que q=20. Sustituyendo en cualquiera, p=50.
- El par (q,p)=(20,50) satisface ambas relaciones y respeta cantidades y precios no negativos.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Si p(q)=30−q, escribe I(q) y un dominio con precio no negativo.
Primera ayuda
El ingreso es precio por cantidad.
Ver solución razonada
I(q)=q(30−q)=30q−q². Con q≥0 y p≥0, el dominio continuo es [0,30].
Práctica 2 · C(q)=200+6q e I(q)=10q. ¿Cuántas unidades hacen falta para no tener pérdidas?
Primera ayuda
Resuelve I≥C.
Ver solución razonada
10q≥200+6q implica q≥50. Con 50 el beneficio es cero; por encima es positivo en el modelo.
Práctica 3 · ¿Puede un beneficio positivo coexistir con ingresos menores que costes?
Primera ayuda
Usa la definición B=I−C.
Ver solución razonada
No dentro de esta definición. Si I<C, entonces B<0. Un error así indica que se ha cambiado el signo o confundido las magnitudes.
El error que debes evitar
No confundir ingreso con beneficio. No igualar precio y coste total. No olvidar multiplicar p(q) por q para construir los ingresos.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
El beneficio se calcula como…
Solución y explicación
Respuesta: Ingresos menos costes. Se resta lo gastado a lo ingresado.
El término fijo de C(q)=80+3q es…
Solución y explicación
Respuesta: 80. Es el coste que permanece incluso cuando q=0.
Equilibrio oferta-demanda y umbral de beneficio…
Solución y explicación
Respuesta: Resuelven igualdades diferentes. Uno iguala relaciones de mercado y el otro ingresos con costes.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué representa I=pq?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Los ingresos obtenidos al vender q unidades al precio p por unidad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa beneficio cero?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Ingresos y costes coinciden; no implica actividad nula.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué restricciones suele exigir q?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No negatividad y, según el contexto, enteros y capacidad máxima.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué revisar precios al ampliar el dominio?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Una fórmula de demanda puede dar precios negativos fuera de su rango útil.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Explica cómo cambia el umbral de beneficio al aumentar solo el coste fijo. Distingue ese cambio del que produce modificar el coste por unidad.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.