Calcular dispersión, comparar variabilidad relativa y detectar valores que merecen revisión.
Míralo en un dibujo
Se comparan A={4,5,5,6} y B={1,5,5,9}. Ambas tienen media 5, pero B está mucho más dispersa.
Antes de seguir: ¿Qué grupo tiene mayor desviación típica?
Comprueba tu razonamiento
B. Sus valores extremos están más lejos de la media común 5.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Tablas de frecuencias; Porcentajes; Ordenación de datos.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Por qué usar desviación típica además de varianza?
Porque está expresada en las unidades originales.
En un minuto
- Porque está expresada en las unidades originales.
- Si se divide por n o por n−1 y con qué finalidad.
- La amplitud entre el primer y el tercer cuartil.
- Con media cero, cercana a cero o escalas sin interpretación de razón.
Entiende la idea
El concepto
Dos distribuciones pueden tener la misma media y comportarse de manera muy distinta. La dispersión mide cuánto se separan los datos. El rango resta mínimo a máximo, pero depende solo de dos observaciones. La varianza promedia cuadrados de desviaciones respecto de la media; la desviación típica es su raíz cuadrada y recupera las unidades originales.
En esta lección se usa varianza descriptiva dividida por n. Cuando se estima una varianza poblacional a partir de una muestra se utiliza con frecuencia la corrección n−1, que se estudiará en inferencia. No deben mezclarse ambas convenciones en un mismo cálculo. Sumar una constante a todos los datos cambia la media pero no la dispersión; multiplicarlos por a multiplica la desviación típica por |a|.
Cómo utilizarlo sin errores
El coeficiente de variación CV=s/x̄ compara dispersión relativa cuando la media es positiva y la escala admite esa interpretación. No es apropiado con medias cero o cercanas a cero, ni en cualquier escala arbitraria. Una desviación de 2 unidades puede ser grande frente a una media de 10 y pequeña frente a 100.
Los cuartiles y el recorrido intercuartílico IQR=Q₃−Q₁ describen la zona central. La regla de cercas Q₁−1,5IQR y Q₃+1,5IQR señala posibles valores atípicos; no ordena borrarlos automáticamente. Pueden ser errores, casos legítimos o pistas importantes. Existen convenciones de cuartiles distintas: aquí se indica la utilizada en cada ejemplo para que el resultado sea reproducible.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
s²=(1/n)Σ(x_i−x̄)². s=√s². CV=s/x̄, cuando tiene sentido. IQR=Q₃−Q₁.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Calcula la dispersión descriptiva de 8,10,12.
- La media es 10 y las desviaciones son −2,0,2.
- La varianza es (4+0+4)/3=8/3≈2,667. La desviación típica es √(8/3)≈1,633.
- El CV es 1,633/10≈0,1633, un 16,33 %. La varianza lleva unidades al cuadrado y la desviación las originales.
Ejemplo 2 · Detecta posibles atípicos en 1,2,3,4,5,6,7,30 usando medianas de las dos mitades.
- La mitad inferior es 1,2,3,4 y Q₁=(2+3)/2=2,5. La superior es 5,6,7,30 y Q₃=(6+7)/2=6,5.
- IQR=4. Las cercas son 2,5−6=−3,5 y 6,5+6=12,5.
- El 30 queda fuera y se marca para revisión. No se elimina sin investigar su origen.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · ¿Qué ocurre con media y desviación de 8,10,12 si se suma 90 a cada dato?
Primera ayuda
Las distancias entre observaciones no cambian.
Ver solución razonada
La media pasa a 100 y la desviación sigue siendo √(8/3). El CV se reduce aproximadamente a 1,633 %.
Práctica 2 · Calcula rango y varianza descriptiva de 3,3,3.
Primera ayuda
No hay separación entre datos.
Ver solución razonada
El rango es 0 y todas las desviaciones a la media son cero, así que la varianza y la desviación típica valen 0.
Práctica 3 · Si se multiplican todos los datos por 10, ¿cómo cambian varianza y desviación típica?
Primera ayuda
Una usa cuadrados y la otra su raíz.
Ver solución razonada
La varianza se multiplica por 100 y la desviación típica por 10. La media también se multiplica por 10.
El error que debes evitar
No mezclar varianza descriptiva y estimadora. No borrar automáticamente atípicos. No comparar dispersiones relativas con un CV sin sentido.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La varianza tiene unidades…
Solución y explicación
Respuesta: Al cuadrado. Se promedian cuadrados de desviaciones.
Un valor fuera de las cercas debe…
Solución y explicación
Respuesta: Revisarse y justificarse. Puede ser una observación válida o un error, y hay que distinguirlos.
Sumar una constante a todos los datos…
Solución y explicación
Respuesta: No cambia la desviación típica. Las diferencias respecto de la nueva media permanecen iguales.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Por qué usar desviación típica además de varianza?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Porque está expresada en las unidades originales.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hay que aclarar al calcular varianza?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Si se divide por n o por n−1 y con qué finalidad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué mide el IQR?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La amplitud entre el primer y el tercer cuartil.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuándo es problemático el CV?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Con media cero, cercana a cero o escalas sin interpretación de razón.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Explica por qué dos grupos con media 10 pueden necesitar apoyos distintos si uno tiene todos los valores cerca de 10 y otro está muy disperso.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.