Tipificar una variable normal y calcular probabilidades e intervalos mediante áreas acumuladas.
Míralo en un dibujo
La transformación z=(x−μ)/σ traslada la media a 0 y expresa la distancia en desviaciones típicas. Para x=70, μ=60 y σ=5, resulta z=2.
Antes de seguir: ¿Qué signo tendrá z para un dato por debajo de la media?
Comprueba tu razonamiento
Negativo, porque x−μ será negativo y σ es positiva.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Probabilidad básica; Combinaciones; Media y desviación típica.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué representa una probabilidad normal?
Un área bajo la densidad.
En un minuto
- Un área bajo la densidad.
- 1−Φ(z).
- X=μ+σZ.
- No: describen objetos diferentes, valores individuales frente a un parámetro estimado.
Entiende la idea
El concepto
La distribución normal es un modelo continuo con forma de campana simétrica. Queda determinada por su media μ y su desviación típica σ, que debe ser positiva. La media sitúa el centro y la desviación controla la anchura. En esta lección escribiremos N(μ,σ) e indicaremos expresamente que el segundo parámetro es la desviación; otros textos usan la varianza, por lo que conviene comprobar la convención.
La probabilidad de una variable continua corresponde a un área bajo una densidad, no a la altura de la curva. La probabilidad de un valor exacto es cero; por eso incluir o excluir un extremo no cambia la probabilidad de un intervalo. No ocurre lo mismo en una distribución discreta como la binomial.
Cómo utilizarlo sin errores
Tipificar transforma X en Z=(X−μ)/σ, que sigue la normal estándar de media cero y desviación uno cuando el modelo normal es adecuado. La función Φ(z) acumula el área situada a la izquierda de z. Las probabilidades entre dos valores se calculan restando áreas acumuladas; las colas derechas se obtienen como uno menos Φ. La simetría permite usar Φ(−z)=1−Φ(z).
Un percentil invierte el procedimiento: se busca un valor z con el área acumulada deseada y se vuelve a la escala original mediante x=μ+σz. Los valores de Φ necesarios se proporcionan en los ejercicios. No debe suponerse normalidad solo porque una variable sea numérica; conviene considerar su forma, límites y contexto antes de aplicar este modelo.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Z=(X−μ)/σ. P(a≤X≤b)=Φ((b−μ)/σ)−Φ((a−μ)/σ). x_p=μ+σz_p.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · X sigue un modelo normal con μ=70 y σ=10. Calcula P(60≤X≤80), usando Φ(1)=0,84134.
- Los extremos tipificados son −1 y 1.
- Φ(−1)=1−0,84134=0,15866. La probabilidad es 0,84134−0,15866=0,68268.
- Aproximadamente el 68,27 % del área queda en ese intervalo según el modelo, no necesariamente exactamente esa proporción en cualquier muestra.
Ejemplo 2 · Con el mismo modelo, obtiene el percentil 90 usando z₀,₉₀=1,28155.
- El percentil deja 0,90 del área a su izquierda.
- Se deshace la tipificación: x=70+10·1,28155=82,8155.
- El percentil 90 es aproximadamente 82,82; queda un 10 % de probabilidad por encima.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula P(X≤85) para μ=70,σ=10, con Φ(1,5)=0,93319.
Primera ayuda
Tipifica el límite superior.
Ver solución razonada
z=(85−70)/10=1,5; P(X≤85)=0,93319, aproximadamente 93,32 %.
Práctica 2 · Para una normal de media 100 y desviación 15, calcula P(X>130), usando Φ(2)=0,97725.
Primera ayuda
Primero z y luego la cola derecha.
Ver solución razonada
z=(130−100)/15=2. La probabilidad es 1−0,97725=0,02275, aproximadamente 2,28 %.
Práctica 3 · En el modelo μ=50,σ=4, encuentra el intervalo central del 95 %, usando z=1,96.
Primera ayuda
Deja 2,5 % en cada cola.
Ver solución razonada
El intervalo es 50±1,96·4=50±7,84, es decir [42,16;57,84]. Es un intervalo de valores de X bajo un modelo, no un intervalo de confianza para μ.
El error que debes evitar
No confundir desviación con varianza. No tomar la altura de la curva como probabilidad. No llamar intervalo de confianza a cualquier intervalo central de una normal.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
En una normal continua P(X=μ) vale…
Solución y explicación
Respuesta: 0. Un punto aislado tiene área cero aunque la densidad sea máxima allí.
Tipificar consiste en…
Solución y explicación
Respuesta: Restar μ y dividir por σ. Así se expresa la distancia al centro en desviaciones típicas.
El percentil 90 deja a la derecha…
Solución y explicación
Respuesta: 10 %. Por definición deja un 90 % a la izquierda.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué representa una probabilidad normal?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Un área bajo la densidad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se obtiene una cola derecha?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
1−Φ(z).
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo regresar de Z a X?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
X=μ+σZ.
Intenta responder antes de mirar.
¿Un intervalo central de datos es un intervalo de confianza?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: describen objetos diferentes, valores individuales frente a un parámetro estimado.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Compara una binomial y una normal: soporte, probabilidad de un valor exacto y significado de los extremos de un intervalo. Añade un ejemplo de cada una.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.