Traducir problemas sociales a sistemas de ecuaciones y juzgar la coherencia de sus soluciones.
Míralo en un dibujo
Las rectas y=x e y=4−x se cortan en (2,2). Ese punto satisface las dos ecuaciones simultáneamente.
Antes de seguir: ¿Qué significaría que las rectas fuesen paralelas y distintas?
Comprueba tu razonamiento
Que no habría un punto común: el sistema sería incompatible.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Ecuaciones lineales; Unidades; Lectura de enunciados.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué conviene escribir junto a cada incógnita?
Su significado y sus unidades.
En un minuto
- Su significado y sus unidades.
- Cancelar una variable combinando ecuaciones equivalentes.
- Que repite información ya contenida en otras.
- Cuando el contexto exige enteros, positividad u otras restricciones.
Entiende la idea
El concepto
El álgebra aplicada comienza definiendo las incógnitas. Cada variable debe representar una cantidad concreta con sus unidades. Después se traducen las relaciones del enunciado: un total de personas, una recaudación, una mezcla o una condición de equilibrio. Una ecuación que suma euros con personas no tiene interpretación correcta aunque pueda resolverse simbólicamente.
En un sistema lineal de dos variables, la sustitución despeja una en una ecuación y la introduce en la otra. La eliminación suma múltiplos de ecuaciones para cancelar una variable. Si se obtiene una igualdad imposible, como 0=5, el sistema es incompatible. Si una ecuación repite la información de la otra, pueden quedar infinitas soluciones; el contexto puede reducirlas, pero no crea una solución única por arte de cálculo.
Cómo utilizarlo sin errores
Algunos modelos no son lineales. En precios y cantidades puede aparecer un producto; una condición de área también produce términos de segundo grado. En ese caso, resolver puede dar varios candidatos. Deben comprobarse todos en las ecuaciones originales y después filtrarse por el contexto: cantidades no negativas, enteras cuando corresponda y dentro de los recursos disponibles.
El resultado final no es una pareja sin explicación. Debe indicar qué valor corresponde a cada variable y verificar los datos del problema. También conviene revisar si los datos se han redondeado: una solución de 12,4 personas no siempre se arregla redondeando a 12; puede indicar que el modelo exacto no es compatible con los datos dados.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Sistema lineal: ax+by=c; dx+ey=f. Una solución debe cumplir simultáneamente todas las ecuaciones y las restricciones del contexto.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Se venden 80 entradas: ordinarias a 15 € y reducidas a 9 €. La recaudación es 960 €. ¿Cuántas hay de cada tipo?
- Sea x el número de ordinarias e y el de reducidas. El sistema es x+y=80 y 15x+9y=960.
- Sustituyendo y=80−x: 15x+720−9x=960, luego 6x=240 y x=40.
- Entonces y=40. Comprobación: 40+40=80 y 600+360=960 €.
Ejemplo 2 · Analiza x+y=10 y 2x+2y=25.
- Multiplicar la primera ecuación por 2 produciría 2x+2y=20.
- La segunda exige que la misma cantidad valga 25. Al restarlas aparece 0=5.
- No existe solución: los datos son incompatibles dentro del modelo, no un problema de elegir un método distinto.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Dos productos cuestan juntos 11 €. El primero cuesta 3 € más que el segundo. Calcula sus precios.
Primera ayuda
Plantea x+y=11 y x−y=3.
Ver solución razonada
Sumando: 2x=14, x=7. Entonces y=4. Ambos precios cumplen las dos relaciones.
Práctica 2 · Resuelve x+y=7 y xy=10.
Primera ayuda
Sustituye y=7−x.
Ver solución razonada
x(7−x)=10 implica x²−7x+10=0=(x−2)(x−5). Las parejas son (2,5) y (5,2).
Práctica 3 · Un sistema de recuentos da x=4,5 e y=7,5. ¿Es correcto redondear sin más?
Primera ayuda
Comprueba qué representan las incógnitas.
Ver solución razonada
Si representan objetos indivisibles y los datos son exactos, no hay solución admisible entera. Redondear puede romper las ecuaciones. Debe revisarse el modelo o la precisión de los datos.
El error que debes evitar
No confundir el número de entradas con su precio. No redondear recuentos para forzar una solución. No aceptar candidatos sin sustituirlos.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Definir variables sirve para…
Solución y explicación
Respuesta: Relacionar símbolos, significado y unidades. La interpretación determina qué ecuaciones y soluciones son admisibles.
Una fila equivalente a 0=5 indica…
Solución y explicación
Respuesta: Incompatibilidad. Ninguna asignación de variables puede cumplirla.
Una solución aplicada debe verificarse…
Solución y explicación
Respuesta: En las ecuaciones y en el contexto. Ambas comprobaciones son necesarias.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué conviene escribir junto a cada incógnita?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Su significado y sus unidades.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué busca la eliminación?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cancelar una variable combinando ecuaciones equivalentes.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa una ecuación redundante?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Que repite información ya contenida en otras.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuándo no basta una solución real?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cuando el contexto exige enteros, positividad u otras restricciones.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Inventa un problema de dos precios cuyo sistema sea compatible y otro con datos contradictorios. Explica qué información se repite o entra en conflicto.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
Consolida el tema completo
Abrir resumen, esquema y refuerzo de Álgebra aplicada
Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.