Construir y resolver modelos exponenciales y logarítmicos y reconocer sus límites de aplicación.
Míralo en un dibujo
Las gráficas y=2ˣ e y=log₂x son simétricas respecto de y=x. La exponencial transforma 0 en 1; el logaritmo transforma 1 en 0.
Antes de seguir: ¿Qué dominio tiene log₂x en los reales?
Comprueba tu razonamiento
x>0. Es el conjunto de valores de salida de la exponencial 2ˣ.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Porcentajes; Ecuaciones; Ejes coordenados.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Cómo se despeja un exponente desconocido?
Aislando la potencia y aplicando logaritmos.
En un minuto
- Aislando la potencia y aplicando logaritmos.
- Argumento positivo y base positiva distinta de uno.
- Que el factor es 1/2 cada cuatro periodos: P₀·(1/2)^(t/4).
- La tasa o las condiciones del fenómeno pueden cambiar.
Entiende la idea
El concepto
Un crecimiento lineal suma la misma cantidad por periodo; uno exponencial multiplica por el mismo factor. Si una magnitud comienza en P₀ y cambia a razón relativa r por periodo, el modelo es P(t)=P₀(1+r)^t. Una tasa positiva genera crecimiento y una tasa entre −1 y 0, disminución. La base debe ser positiva para mantener el modelo real continuo habitual.
El logaritmo invierte una exponencial: log_b(a)=c significa b^c=a, con a>0, b>0 y b≠1. Permite despejar tiempos o exponentes desconocidos. Los logaritmos transforman productos en sumas y potencias en factores, siempre respetando el dominio. No separan sumas internas: ln(a+b) no equivale a ln a+ln b.
Cómo utilizarlo sin errores
Las funciones exponencial y logarítmica son inversas con dominios y recorridos intercambiados. La exponencial b^x tiene valores positivos; el logaritmo admite entradas positivas y puede producir resultados negativos. Si el argumento incluye una expresión, como ln(x−3), se exige x>3. Los desplazamientos cambian asíntotas y dominios.
En fenómenos sociales, un porcentaje constante durante un periodo limitado puede ser un modelo útil, pero no prueba un crecimiento indefinido. Capacidad, saturación, cambios de comportamiento y definiciones de los datos pueden romper el patrón. Una estimación debe indicar qué tasa se supone constante y durante cuánto tiempo se usa. Todos los valores de esta lección son ficticios para practicar el cálculo.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
P(t)=P₀b^t. t=ln(P/P₀)/ln b, b>0 y b≠1. log_b(a)=ln a/ln b.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Una comunidad ficticia pasa de 200 miembros y crece un 10 % por mes. Calcula el modelo y el valor a los tres meses.
- La base es 1,10 y el modelo P(t)=200·1,10^t.
- P(3)=200·1,331=266,2.
- El modelo continuo da una estimación; para personas reales habría que interpretar el redondeo y contrastar la tasa con datos, no afirmar que existen 0,2 personas.
Ejemplo 2 · En el modelo V(t)=100·0,8^t, ¿cuándo baja a 50?
- 100·0,8^t=50 implica 0,8^t=0,5.
- Tomamos logaritmos: t=ln0,5/ln0,8≈3,106.
- Si solo se revisa tras periodos enteros, el primer valor no superior a 50 ocurre en t=4: V(3)=51,2 y V(4)=40,96.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Resuelve 2^x=32.
Primera ayuda
Escribe 32 como potencia de 2.
Ver solución razonada
32=2⁵, de modo que x=5.
Práctica 2 · Halla el dominio de ln(2x−6).
Primera ayuda
El argumento debe ser positivo.
Ver solución razonada
2x−6>0 implica x>3. Dominio: (3,∞).
Práctica 3 · Una cantidad se duplica cada cuatro periodos y comienza en 80. Escribe el modelo y calcula el valor tras ocho.
Primera ayuda
Usa t/4 como número de duplicaciones.
Ver solución razonada
P(t)=80·2^(t/4). Para t=8 hay dos duplicaciones: P(8)=320.
El error que debes evitar
No sumar la tasa en vez de multiplicar. No redondear tiempos antes de decidir el primer periodo entero. No extrapolar una población sin límites del modelo.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Un modelo exponencial tiene cambio…
Solución y explicación
Respuesta: Multiplicativo constante. En intervalos iguales se aplica el mismo factor.
ln(a+b) puede escribirse como ln a+ln b…
Solución y explicación
Respuesta: No como regla general. La suma de logaritmos corresponde a un producto.
En P₀·0,9^t la variación por periodo es…
Solución y explicación
Respuesta: −10 %. Se conserva el 90 % del valor previo.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Cómo se despeja un exponente desconocido?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Aislando la potencia y aplicando logaritmos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué requiere un logaritmo real?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Argumento positivo y base positiva distinta de uno.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa una semivida de cuatro periodos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Que el factor es 1/2 cada cuatro periodos: P₀·(1/2)^(t/4).
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué no extrapolar indefinidamente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La tasa o las condiciones del fenómeno pueden cambiar.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Compara el modelo exponencial de la comunidad con sumar 20 miembros cada mes. Coinciden el primer mes, pero explica por qué después dejan de hacerlo.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.