Obtener una recta de regresión de Y sobre X y usarla para estimaciones acompañadas de sus límites.
Míralo en un dibujo
Se muestra una nube de puntos, la recta y=0,8x+1 y residuos verticales. La predicción fuera del intervalo observado se representa discontinua para destacar su incertidumbre.
Antes de seguir: ¿Qué mide un residuo?
Comprueba tu razonamiento
La diferencia vertical entre el valor observado y el valor predicho por el modelo para esa misma x.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Media y desviación típica; Ecuación de la recta; Nube de puntos.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué minimiza mínimos cuadrados?
La suma de los cuadrados de los residuos verticales.
En un minuto
- La suma de los cuadrados de los residuos verticales.
- Covarianza dividida por varianza de X.
- El valor predicho, distinto del observado y.
- No: resume una tendencia y contiene incertidumbre.
Entiende la idea
El concepto
La regresión busca resumir cómo cambia una variable respuesta Y en función de una variable explicativa X. En el modelo lineal se emplea una recta ŷ=a+bx. El símbolo ŷ distingue la predicción del dato observado y. No todos los puntos tienen que pertenecer a la recta: la diferencia y−ŷ es el residuo.
El criterio de mínimos cuadrados elige la recta que hace mínima la suma de los cuadrados de los residuos verticales. Si X tiene variación, la pendiente se obtiene dividiendo la covarianza entre la varianza de X. Después, la ordenada se calcula de modo que la recta pase por el punto de medias. La pendiente expresa el cambio previsto en Y por una unidad adicional de X, dentro del modelo y del contexto estudiados.
Cómo utilizarlo sin errores
La recta de Y sobre X no coincide, en general, con la que resulta de despejar Y en la regresión de X sobre Y. Se minimizan distancias distintas y no se pueden intercambiar las variables sin revisar el objetivo. Una ordenada en el origen puede carecer de significado práctico cuando X=0 está lejos de los datos o no es una situación posible.
Antes de estimar, conviene comprobar la forma del diagrama, los valores atípicos y el intervalo de X observado. La recta describe una tendencia media, no un resultado seguro para cada individuo. Una asociación puede cambiar entre poblaciones o periodos. En esta lección realizamos estimaciones descriptivas; un intervalo predictivo requeriría un análisis adicional de incertidumbre que no se deduce solo del valor de r.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
b=cov(X,Y)/sₓ². a=ȳ−bx̄. ŷ=a+bx. Residuo e=y−ŷ.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · En datos ficticios de práctica X y puntuación Y se tiene x̄=4, ȳ=60, sₓ²=4 y cov=10. Obtén la recta y estima en X=5.
- La pendiente es b=10/4=2,5 puntos por unidad de X.
- La ordenada es a=60−2,5·4=50. La recta es ŷ=50+2,5x.
- En X=5 predice 62,5. Es una estimación del modelo, no una nota garantizada.
Ejemplo 2 · Ajusta Y sobre X para (1,2),(2,4),(3,5).
- x̄=2 e ȳ=11/3. La varianza de X es 2/3. La media xy es 25/3 y cov=25/3−22/3=1.
- La pendiente es 1/(2/3)=3/2. La ordenada es 11/3−3=2/3.
- Por tanto ŷ=2/3+(3/2)x. Para x=2, ŷ=11/3; el residuo observado es 4−11/3=1/3.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Usa ŷ=120−4x para estimar Y en x=10 e interpretar b.
Primera ayuda
La pendiente relaciona una unidad de X con unidades de Y.
Ver solución razonada
ŷ=120−40=80. Según el modelo, cada unidad adicional de X se asocia con una disminución prevista de 4 unidades de Y; no prueba una causa.
Práctica 2 · En una recta ŷ=5+2x, el dato (3,9) tiene qué residuo?
Primera ayuda
Resta predicción a observación.
Ver solución razonada
La predicción es 11 y el residuo es 9−11=−2. El dato está dos unidades por debajo de la recta.
Práctica 3 · Con x̄=10, ȳ=30 y b=1,2, calcula a y verifica el punto de medias.
Primera ayuda
Usa a=ȳ−bx̄.
Ver solución razonada
a=30−12=18. Al sustituir x=10 en ŷ=18+1,2x se obtiene 30, como debe ocurrir.
El error que debes evitar
No confundir residuo con error de cálculo. No invertir automáticamente las regresiones. No atribuir significado a x=0 cuando está fuera del contexto.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La recta de mínimos cuadrados pasa por…
Solución y explicación
Respuesta: El punto de medias. Su ordenada se determina mediante a=ȳ−bx̄.
Un residuo negativo significa…
Solución y explicación
Respuesta: Observación menor que predicción. El residuo se define como y−ŷ.
Para predecir Y a partir de X se usa…
Solución y explicación
Respuesta: La regresión de Y sobre X. El criterio de mínimos cuadrados depende de la variable respuesta.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué minimiza mínimos cuadrados?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La suma de los cuadrados de los residuos verticales.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se obtiene la pendiente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Covarianza dividida por varianza de X.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué es ŷ?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El valor predicho, distinto del observado y.
Intenta responder antes de mirar.
¿Una recta asegura resultados individuales?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: resume una tendencia y contiene incertidumbre.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Comprueba que los tres residuos del segundo ejemplo suman cero, salvo redondeo, y explica por qué esto no implica que todas las predicciones sean exactas.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.