Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Probabilidad y distribuciones
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Probabilidad, sucesos y árboles
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Ejercicio 1. Lanza dos monedas equilibradas independientes. Calcula la probabilidad de al menos una cara.
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Pista: Usa el contrario: ninguna cara.
Solución: P(ninguna cara)=P(cruz,cruz)=1/4. Por tanto, al menos una cara tiene probabilidad 3/4.
Ejercicio 2. En un dado equilibrado, A es obtener par y B obtener un número mayor que 4. Calcula unión e intersección.
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Pista: Escribe A={2,4,6}, B={5,6}.
Solución: La intersección es {6}, de probabilidad 1/6. La unión es {2,4,5,6}, de probabilidad 4/6=2/3; coincide con 1/2+1/3−1/6.
Ejercicio 3. Una primera etapa tiene probabilidades 0,7 y 0,3. Tras cada rama, la probabilidad de éxito es 0,8 y 0,4, respectivamente. Calcula el éxito total.
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Pista: Suma los dos caminos que acaban en éxito.
Solución: P(éxito)=0,7·0,8+0,3·0,4=0,68. No es la media simple de 0,8 y 0,4 porque las ramas iniciales pesan distinto.
Variable aleatoria y binomial
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Ejercicio 4. Una variable toma 0,1,2 con probabilidades 0,2;0,5;0,3. Calcula esperanza y varianza.
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Pista: Primero E(X), después E(X²).
Solución: E(X)=0·0,2+1·0,5+2·0,3=1,1. E(X²)=0,5+4·0,3=1,7. Var(X)=1,7−1,21=0,49; desviación típica 0,7.
Ejercicio 5. Para X~B(3,0,2), calcula P(X≤1).
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Pista: Suma cero y un éxito.
Solución: P0=0,8³=0,512; P1=3·0,2·0,8²=0,384. La suma es 0,896.
Ejercicio 6. Se extraen 3 bolas sin reemplazamiento de una urna con 4 rojas y 2 azules. ¿Es exactamente B(3,4/6)?
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Pista: Compara las probabilidades después de la primera extracción.
Solución: No: cambian las proporciones y las extracciones no son independientes. El conteo sin reemplazamiento tiene otro modelo; no se debe aplicar automáticamente la binomial.
Distribución normal y tipificación
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Ejercicio 7. Calcula P(X≤85) para μ=70,σ=10, con Φ(1,5)=0,93319.
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Pista: Tipifica el límite superior.
Solución: z=(85−70)/10=1,5; P(X≤85)=0,93319, aproximadamente 93,32 %.
Ejercicio 8. Para una normal de media 100 y desviación 15, calcula P(X>130), usando Φ(2)=0,97725.
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Pista: Primero z y luego la cola derecha.
Solución: z=(130−100)/15=2. La probabilidad es 1−0,97725=0,02275, aproximadamente 2,28 %.
Ejercicio 9. En el modelo μ=50,σ=4, encuentra el intervalo central del 95 %, usando z=1,96.
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Pista: Deja 2,5 % en cada cola.
Solución: El intervalo es 50±1,96·4=50±7,84, es decir [42,16;57,84]. Es un intervalo de valores de X bajo un modelo, no un intervalo de confianza para μ.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.