Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Derivadas y decisiones
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Tasa de variación y derivada
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Ejercicio 1. Si f(t)=5t², calcula su derivada e interpreta el valor en t=2.
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Pista: Usa la derivada de una potencia.
Solución: f′(t)=10t y f′(2)=20. La magnitud cambia instantáneamente a razón de 20 unidades de salida por unidad de tiempo.
Ejercicio 2. Una función vale 100 y su derivada −3 en cierto punto. ¿Es negativa la función?
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Pista: Distingue nivel y tendencia.
Solución: No. Su valor es 100, positivo. La derivada −3 indica disminución local, no un nivel negativo.
Ejercicio 3. Halla la tangente de C(q) del ejemplo en q=10.
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Pista: Usa el punto (10,130) y pendiente 4.
Solución: y−130=4(q−10), es decir, y=4q+90. La recta es una aproximación local del coste.
Reglas de derivación básicas
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Ejercicio 4. Deriva 4x³−2x+9.
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Pista: Aplica linealidad.
Solución: La derivada es 12x²−2. La constante 9 deriva a cero.
Ejercicio 5. Deriva x ln x con x>0.
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Pista: Se trata de un producto.
Solución: f′=1·lnx+x·(1/x)=lnx+1, con el dominio original x>0.
Ejercicio 6. Deriva e^(−0,2t).
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Pista: La derivada del exponente es −0,2.
Solución: f′(t)=−0,2e^(−0,2t). El signo negativo expresa que la exponencial decrece.
Crecimiento, extremos y optimización
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Ejercicio 7. Maximiza I(q)=30q−q² en [0,30].
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Pista: Es una parábola cóncava.
Solución: I′=30−2q=0 da q=15. El ingreso es 225 y los bordes dan cero; es el máximo.
Ejercicio 8. ¿Maximiza los ingresos la misma cantidad que el beneficio en el primer ejemplo?
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Pista: Los ingresos son 40q−q².
Solución: Los ingresos se maximizan en q=20, mientras el beneficio lo hace en q=18. El coste variable desplaza la decisión.
Ejercicio 9. Una función objetivo tiene máximo continuo en q=7,4 y q debe ser entero. ¿Qué se hace?
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Pista: No se decide solo redondeando el número.
Solución: Se comparan los valores de la función en 7 y 8, si ambos son admisibles, y los demás candidatos o bordes relevantes según el problema. Se elige por el objetivo, no por cercanía decimal.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.