Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Datos bidimensionales
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Covarianza y correlación
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Ejercicio 1. Calcula r de (1,9),(2,6),(3,3).
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Pista: Observa si las parejas están exactamente sobre una recta.
Solución: x̄=2, ȳ=6, cov=(−3−3)/3=−2, sₓ²=2/3 y sᵧ²=6. El producto sₓsᵧ=2 y r=−1. La relación es y=12−3x.
Ejercicio 2. ¿Qué ocurre con r al expresar todos los ingresos Y en céntimos en vez de euros?
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Pista: La covarianza y sᵧ se multiplican por el mismo número positivo.
Solución: No cambia: cov se multiplica por 100 y sᵧ también. Las unidades se cancelan. La covarianza sí cambia de magnitud.
Ejercicio 3. Todos los estudiantes de una tabla tienen la misma edad. ¿Puede calcularse su correlación de Pearson entre edad y nota?
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Pista: Comprueba la desviación típica de la edad.
Solución: No está definida, porque s_edad=0 y el denominador es cero. No debe comunicarse r=0 como sustituto.
Recta de regresión
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Ejercicio 4. Usa ŷ=120−4x para estimar Y en x=10 e interpretar b.
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Pista: La pendiente relaciona una unidad de X con unidades de Y.
Solución: ŷ=120−40=80. Según el modelo, cada unidad adicional de X se asocia con una disminución prevista de 4 unidades de Y; no prueba una causa.
Ejercicio 5. En una recta ŷ=5+2x, el dato (3,9) tiene qué residuo?
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Pista: Resta predicción a observación.
Solución: La predicción es 11 y el residuo es 9−11=−2. El dato está dos unidades por debajo de la recta.
Ejercicio 6. Con x̄=10, ȳ=30 y b=1,2, calcula a y verifica el punto de medias.
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Pista: Usa a=ȳ−bx̄.
Solución: a=30−12=18. Al sustituir x=10 en ŷ=18+1,2x se obtiene 30, como debe ocurrir.
Predicción frente a causalidad
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Ejercicio 7. Las ventas de helados y el uso de piscinas crecen conjuntamente en una tabla ficticia. ¿Demuestra que los helados provocan usar piscinas?
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Pista: Propón una variable que afecte a ambas.
Solución: No. La temperatura o la estación pueden influir en ambas. La asociación observacional no distingue esa explicación de un efecto causal directo.
Ejercicio 8. Un modelo de asistencia predice 125 % de ocupación de plazas disponibles. ¿Qué debes revisar?
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Pista: Contrasta la predicción con el rango posible de la variable.
Solución: El modelo o su uso fuera del rango observado es inadecuado para esa interpretación. Si la ocupación se define como plazas ocupadas/capacidad, no puede exceder 100 %; no se debe aceptar la cifra solo porque la fórmula la produzca.
Ejercicio 9. Para y=2+x² observado en x=−1,0,1, calcula la correlación lineal y una predicción en x=0,5.
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Pista: La simetría hace cero la covarianza.
Solución: Los pares son (−1,3),(0,2),(1,3), con cov=0 y r=0. El modelo cuadrático predice 2,25 en 0,5. Correlación nula no excluye una relación útil no lineal.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.