Definir una variable aleatoria discreta y reconocer cuándo es adecuado un modelo binomial.
Míralo en un dibujo
Se representa X~B(6;0,5), con probabilidades C(6,k)/64 para k=0,…,6. El valor más probable es 3; las barras suman 1.
Antes de seguir: ¿Qué hipótesis hace falta además de una probabilidad de éxito constante?
Comprueba tu razonamiento
Independencia entre los ensayos, junto con un número fijo de ellos y dos resultados por ensayo.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Probabilidad básica; Combinaciones; Media y desviación típica.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué cuenta X en una binomial?
El número de éxitos en n ensayos.
En un minuto
- El número de éxitos en n ensayos.
- Cuenta los órdenes con exactamente k éxitos.
- np y np(1−p), respectivamente.
- Como 1 menos la probabilidad de ningún éxito.
Entiende la idea
El concepto
Una variable aleatoria asigna un número a cada resultado de un experimento. Su distribución especifica los valores posibles y sus probabilidades, que deben ser no negativas y sumar uno. La esperanza es una media ponderada por probabilidades: describe el promedio teórico de muchas repeticiones, no necesariamente un valor que pueda observarse en una sola.
La varianza mide la dispersión alrededor de la esperanza y puede calcularse como E(X²)−[E(X)]². La desviación típica es su raíz cuadrada. Cuando la variable cuenta éxitos en n ensayos, puede seguir una distribución binomial si el número de ensayos es fijo, cada ensayo tiene dos resultados clasificados como éxito o fracaso, la probabilidad de éxito p es constante y los ensayos son independientes.
Cómo utilizarlo sin errores
La probabilidad de exactamente k éxitos combina dos factores. Un orden concreto con k éxitos tiene probabilidad pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. El coeficiente combinatorio cuenta cuántos órdenes distintos contienen esos mismos k éxitos. Multiplicar ambos da la fórmula binomial. Expresiones como al menos, como máximo o más de deben traducirse cuidadosamente a valores enteros.
No toda repetición es binomial. Extraer sin reemplazamiento de un conjunto pequeño cambia las probabilidades y rompe la independencia. En algunos contextos un modelo binomial puede aproximar una situación, pero esa aproximación debe justificarse. Aquí se trabaja con supuestos explícitos y datos ficticios. Conviene usar el suceso contrario cuando permite sumar menos términos, especialmente para calcular al menos un éxito.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
X~B(n,p): P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. E(X)=np. Var(X)=np(1−p).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · X cuenta éxitos en 5 ensayos independientes con p=0,3. Calcula P(X=2), media y varianza.
- C(5,2)=10. La probabilidad es 10·0,3²·0,7³=0,3087.
- La esperanza es 5·0,3=1,5 y la varianza 5·0,3·0,7=1,05.
- Una esperanza de 1,5 es posible aunque el conteo observado solo tome valores enteros.
Ejemplo 2 · En 4 preguntas independientes, cada una con probabilidad de acierto 0,5, calcula al menos un acierto y más de dos.
- P(X≥1)=1−P(X=0)=1−0,5⁴=15/16.
- P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=4/16+1/16=5/16.
- Más de dos no incluye exactamente dos. Las probabilidades parten del modelo de independencia indicado.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Una variable toma 0,1,2 con probabilidades 0,2;0,5;0,3. Calcula esperanza y varianza.
Primera ayuda
Primero E(X), después E(X²).
Ver solución razonada
E(X)=0·0,2+1·0,5+2·0,3=1,1. E(X²)=0,5+4·0,3=1,7. Var(X)=1,7−1,21=0,49; desviación típica 0,7.
Práctica 2 · Para X~B(3,0,2), calcula P(X≤1).
Primera ayuda
Suma cero y un éxito.
Ver solución razonada
P0=0,8³=0,512; P1=3·0,2·0,8²=0,384. La suma es 0,896.
Práctica 3 · Se extraen 3 bolas sin reemplazamiento de una urna con 4 rojas y 2 azules. ¿Es exactamente B(3,4/6)?
Primera ayuda
Compara las probabilidades después de la primera extracción.
Ver solución razonada
No: cambian las proporciones y las extracciones no son independientes. El conteo sin reemplazamiento tiene otro modelo; no se debe aplicar automáticamente la binomial.
El error que debes evitar
No olvidar el coeficiente combinatorio. No identificar esperanza con resultado garantizado. No usar binomial sin revisar independencia y constancia de p.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Una condición binomial es…
Solución y explicación
Respuesta: Probabilidad de éxito constante. Junto con n fijo, dos categorías e independencia.
La esperanza de un conteo…
Solución y explicación
Respuesta: Puede no ser un valor observable. Es un promedio teórico ponderado, no una observación.
P(X>2) para un conteo empieza en…
Solución y explicación
Respuesta: 3. La desigualdad estricta excluye el valor 2.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué cuenta X en una binomial?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El número de éxitos en n ensayos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hace C(n,k)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cuenta los órdenes con exactamente k éxitos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Media y varianza binomiales?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
np y np(1−p), respectivamente.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo calcular al menos un éxito?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Como 1 menos la probabilidad de ningún éxito.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Calcula todas las probabilidades de B(3,0,2), comprueba que suman uno y localiza la esperanza 0,6 respecto a sus valores posibles.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.