Construir espacios muestrales, calcular probabilidades compuestas y utilizar árboles y tablas.
Míralo en un dibujo
A tiene probabilidad 0,4 y B, 0,6. Tras A, P(E|A)=0,75; tras B, P(E|B)=0,25. P(E)=0,4·0,75+0,6·0,25=0,45.
Antes de seguir: ¿Qué probabilidad tiene el camino A y E?
Comprueba tu razonamiento
0,4·0,75=0,30. Se multiplican las probabilidades que aparecen a lo largo del camino.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Probabilidad básica; Combinaciones; Media y desviación típica.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué es el suceso contrario?
Todos los resultados que no pertenecen al suceso original.
En un minuto
- Todos los resultados que no pertenecen al suceso original.
- Se suman sus probabilidades y se resta la intersección.
- La composición del conjunto y las probabilidades posteriores.
- El total del grupo al que se condiciona.
Entiende la idea
El concepto
Un experimento aleatorio tiene resultados posibles conocidos, aunque no se sabe con certeza cuál ocurrirá en una realización concreta. El espacio muestral reúne esos resultados y un suceso es un subconjunto de ellos. La probabilidad está entre cero y uno, la del espacio total es uno y la del suceso contrario es uno menos la del original.
La regla de Laplace divide casos favorables entre posibles solamente cuando los resultados elementales son equiprobables. Contar categorías sin comprobar esa condición puede producir errores. Por ejemplo, las sumas de dos dados no son equiprobables, aunque sí lo son las 36 parejas ordenadas de caras de dos dados equilibrados independientes.
Cómo utilizarlo sin errores
La unión A∪B significa que ocurre A o B, o ambos. La intersección A∩B exige ambos. Al sumar las probabilidades de dos sucesos, la intersección se cuenta dos veces y debe restarse. Los sucesos incompatibles no pueden ocurrir a la vez. Independencia es otra idea: conocer que ocurrió uno no cambia la probabilidad del otro. Dos sucesos de probabilidad positiva que son incompatibles no son independientes.
Un árbol representa etapas sucesivas. Las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo suman uno; se multiplican a lo largo de un camino y se suman caminos incompatibles. Sin reemplazamiento, las probabilidades suelen cambiar después de cada extracción. Una tabla de contingencia ofrece otra forma de organizar la misma información, siempre distinguiendo probabilidades sobre el total y condicionadas a una fila o columna.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). P(Aᶜ)=1−P(A). P(A∩B)=P(A)P(B|A).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Se extraen dos bolas sin reemplazamiento de una urna con 3 rojas y 2 azules. Calcula la probabilidad de una de cada color.
- El camino roja-azul tiene probabilidad (3/5)(2/4)=3/10.
- El camino azul-roja tiene probabilidad (2/5)(3/4)=3/10.
- Son incompatibles y ambos sirven: la probabilidad es 3/5. No basta con contar uno de los dos órdenes.
Ejemplo 2 · En un grupo de 40, 25 estudian inglés, 18 francés y 10 ambos. ¿Cuántos estudian alguno y cuántos ninguno?
- La unión tiene 25+18−10=33 personas.
- No estudian ninguno 40−33=7. Sus probabilidades son 33/40 y 7/40.
- La probabilidad de francés entre quienes estudian inglés es 10/25, no 10/40.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Lanza dos monedas equilibradas independientes. Calcula la probabilidad de al menos una cara.
Primera ayuda
Usa el contrario: ninguna cara.
Ver solución razonada
P(ninguna cara)=P(cruz,cruz)=1/4. Por tanto, al menos una cara tiene probabilidad 3/4.
Práctica 2 · En un dado equilibrado, A es obtener par y B obtener un número mayor que 4. Calcula unión e intersección.
Primera ayuda
Escribe A={2,4,6}, B={5,6}.
Ver solución razonada
La intersección es {6}, de probabilidad 1/6. La unión es {2,4,5,6}, de probabilidad 4/6=2/3; coincide con 1/2+1/3−1/6.
Práctica 3 · Una primera etapa tiene probabilidades 0,7 y 0,3. Tras cada rama, la probabilidad de éxito es 0,8 y 0,4, respectivamente. Calcula el éxito total.
Primera ayuda
Suma los dos caminos que acaban en éxito.
Ver solución razonada
P(éxito)=0,7·0,8+0,3·0,4=0,68. No es la media simple de 0,8 y 0,4 porque las ramas iniciales pesan distinto.
El error que debes evitar
No sumar caminos que se solapan. No mantener el denominador inicial tras una extracción sin reemplazamiento. No tratar todas las sumas de dados como equiprobables.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La regla de Laplace requiere…
Solución y explicación
Respuesta: Resultados elementales equiprobables. Sin equiprobabilidad, contar casos no basta.
En un árbol se suman…
Solución y explicación
Respuesta: Los caminos incompatibles que cumplen el suceso. Dentro de cada camino se multiplican probabilidades condicionadas.
Incompatible e independiente significan lo mismo…
Solución y explicación
Respuesta: No. Incompatibilidad impide la intersección; independencia expresa ausencia de cambio probabilístico.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué es el suceso contrario?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Todos los resultados que no pertenecen al suceso original.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se calcula una unión de dos sucesos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Se suman sus probabilidades y se resta la intersección.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué cambia al extraer sin reemplazamiento?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La composición del conjunto y las probabilidades posteriores.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué denominador usa una probabilidad condicionada?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El total del grupo al que se condiciona.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Representa el primer ejemplo con un árbol y con una lista de caminos. Comprueba que las cuatro probabilidades finales suman uno.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.