Calcular e interpretar covarianza y correlación, distinguiendo asociación lineal, dependencia y causalidad.
Míralo en un dibujo
Una nube de puntos con tendencia creciente ilustra asociación positiva. La recta orienta sobre el patrón, pero no demuestra causalidad.
Antes de seguir: ¿Una relación muy fuerte demuestra que una variable causa la otra?
Comprueba tu razonamiento
No. Puede haber variables de confusión o una causa común. La correlación por sí sola no identifica el mecanismo.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Media y desviación típica; Ecuación de la recta; Nube de puntos.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué conserva una tabla bidimensional?
La pareja de valores de cada individuo.
En un minuto
- La pareja de valores de cada individuo.
- El sentido de la asociación lineal.
- Cuando alguna desviación típica es cero.
- No: puede existir dependencia no lineal.
Entiende la idea
El concepto
Una distribución bidimensional recoge dos variables medidas en los mismos individuos. Mantener cada pareja es esencial: ordenar las columnas por separado destruye la relación original. El diagrama de dispersión sitúa cada observación como un punto y permite reconocer tendencias, curvaturas, grupos o valores atípicos antes de calcular indicadores.
La covarianza descriptiva es la media de los productos de las desviaciones respecto a sus medias. Es positiva cuando suelen coincidir desviaciones del mismo signo y negativa cuando una variable tiende a estar por encima de su media mientras la otra está por debajo. Su magnitud depende de las unidades: cambiar euros por céntimos multiplica la covarianza por cien.
Cómo utilizarlo sin errores
El coeficiente de correlación lineal de Pearson divide la covarianza por el producto de las desviaciones típicas. No tiene unidades y está entre −1 y 1. Su signo indica el sentido de la relación lineal y su valor absoluto resume el grado de alineación. Si una variable es constante, su desviación típica es cero y el coeficiente no está definido. Deben usarse convenciones coherentes: covarianzas y varianzas todas con divisor n, o todas con n−1.
Una correlación próxima a cero significa ausencia de asociación lineal apreciable, no ausencia de cualquier relación. Una parábola simétrica puede producir correlación nula y dependencia perfecta. Tampoco una correlación elevada demuestra que una variable cause la otra. Los datos de esta lección son ficticios: sirven para practicar el cálculo y una interpretación prudente, no para afirmar cómo se comporta una población real.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
cov(X,Y)=Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)/n=Σxᵢyᵢ/n−x̄ȳ. r=cov(X,Y)/(sₓsᵧ), si sₓsᵧ>0.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Para las parejas (1,3),(2,5),(3,7), calcula la covarianza descriptiva y r.
- Las medias son x̄=2 e ȳ=5. Las desviaciones de X son −1,0,1 y las de Y, −2,0,2.
- La covarianza es (2+0+2)/3=4/3. Las varianzas son 2/3 y 8/3.
- El producto de desviaciones típicas es √[(2/3)(8/3)]=4/3, por lo que r=1: alineación positiva perfecta.
Ejemplo 2 · Calcula r para (−1,1),(0,0),(1,1) e interpreta.
- x̄=0, ȳ=2/3 y la media de los productos xy es 0. Por tanto, cov=0.
- Ambas variables tienen variación, así que r=0.
- Sin embargo, los tres puntos cumplen y=x². Existe dependencia no lineal; r solo resume asociación lineal.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula r de (1,9),(2,6),(3,3).
Primera ayuda
Observa si las parejas están exactamente sobre una recta.
Ver solución razonada
x̄=2, ȳ=6, cov=(−3−3)/3=−2, sₓ²=2/3 y sᵧ²=6. El producto sₓsᵧ=2 y r=−1. La relación es y=12−3x.
Práctica 2 · ¿Qué ocurre con r al expresar todos los ingresos Y en céntimos en vez de euros?
Primera ayuda
La covarianza y sᵧ se multiplican por el mismo número positivo.
Ver solución razonada
No cambia: cov se multiplica por 100 y sᵧ también. Las unidades se cancelan. La covarianza sí cambia de magnitud.
Práctica 3 · Todos los estudiantes de una tabla tienen la misma edad. ¿Puede calcularse su correlación de Pearson entre edad y nota?
Primera ayuda
Comprueba la desviación típica de la edad.
Ver solución razonada
No está definida, porque s_edad=0 y el denominador es cero. No debe comunicarse r=0 como sustituto.
El error que debes evitar
No separar ni reordenar las columnas de parejas. No mezclar divisores n y n−1. No interpretar correlación como porcentaje de causalidad.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
r=−0,9 indica…
Solución y explicación
Respuesta: Una asociación lineal negativa fuerte. El signo es negativo y el valor absoluto próximo a 1, pero no establece causalidad.
La covarianza depende de las unidades…
Solución y explicación
Respuesta: Sí. No está normalizada por las desviaciones típicas.
r=0 permite concluir que…
Solución y explicación
Respuesta: No hay covarianza lineal, si r está definido. Puede existir una relación no lineal muy clara.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué conserva una tabla bidimensional?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La pareja de valores de cada individuo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué mide el signo de r?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El sentido de la asociación lineal.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuándo no está definido r?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cuando alguna desviación típica es cero.
Intenta responder antes de mirar.
¿Correlación nula equivale a independencia?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: puede existir dependencia no lineal.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Dibuja los tres ejemplos de esta lección y explica por qué mirar el diagrama antes de calcular r evita conclusiones equivocadas.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
Consolida el tema completo
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.