Determinar extremos y optimizar ingresos, beneficios o costes respetando el dominio del modelo.
Míralo en un dibujo
En el dominio 0≤x≤4 se dibuja f(x)=−(x−2)²+4. El máximo absoluto es 4 en x=2; también se comparan los extremos del intervalo.
Antes de seguir: ¿Basta con resolver f′(x)=0 para justificar el máximo absoluto?
Comprueba tu razonamiento
No. También deben comprobarse el dominio, puntos no derivables si existen y extremos de la región admisible.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Derivadas básicas; Cuadráticas; Interpretación económica.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Por qué no basta resolver f′=0?
Hay que clasificar y comparar dentro del dominio.
En un minuto
- Hay que clasificar y comparar dentro del dominio.
- El beneficio descuenta costes, que pueden cambiar la cantidad elegida.
- Evaluando opciones enteras admisibles, no redondeando ciegamente.
- La decisión, el valor objetivo, las unidades y su justificación.
Entiende la idea
El concepto
Optimizar significa buscar el valor más alto o más bajo de una magnitud dentro de las condiciones permitidas. El primer paso es elegir correctamente esa magnitud: maximizar ingresos no equivale a maximizar beneficio, y minimizar coste total no equivale a minimizar coste por unidad. Las variables y unidades deben definirse antes de derivar.
Los candidatos interiores aparecen donde la derivada se anula o no existe y la función sí está definida. La clasificación se hace con cambios de signo o, cuando procede, con la segunda derivada. Un cambio de positivo a negativo indica máximo; de negativo a positivo, mínimo. Derivada cero por sí sola no decide.
Cómo utilizarlo sin errores
Los extremos del intervalo también cuentan. En un dominio cerrado se comparan sus valores con los candidatos interiores. Si las cantidades son enteras, un óptimo continuo no entero obliga a comparar enteros admisibles cercanos, además de los bordes relevantes. No es correcto redondear automáticamente sin evaluar la función objetivo.
Un resultado aplicado debe responder a toda la pregunta: cantidad óptima, precio o coste asociado y valor de la magnitud optimizada. También debe explicitar las simplificaciones del modelo, como demanda lineal, costes fijos y ausencia de restricciones no mencionadas. Los modelos de esta lección son ejercicios ficticios, no estimaciones de negocios reales.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Beneficio B=I−C. Candidatos: f′=0 o f′ no definida dentro del dominio. Comparar candidatos y bordes.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Una demanda ficticia es p(q)=40−q y el coste C(q)=20+4q. Maximiza el beneficio para 0≤q≤40.
- I(q)=q(40−q). Por tanto B(q)=36q−q²−20.
- B′=36−2q se anula en q=18. Como B″=−2<0, es un máximo, y el signo cambia de + a −.
- p(18)=22 y B(18)=304. En los bordes B(0)=−20 y B(40)=−180, inferiores al valor interior.
Ejemplo 2 · Minimiza C_m(q)=400/q+q+10 para 5≤q≤100.
- C_m′(q)=−400/q²+1. Se anula en q=20, dentro del dominio positivo.
- La derivada es negativa antes de 20 y positiva después: mínimo. C_m(20)=20+20+10=50.
- Los bordes dan 95 y 114, respectivamente, por lo que el mínimo absoluto en el intervalo es 50.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Maximiza I(q)=30q−q² en [0,30].
Primera ayuda
Es una parábola cóncava.
Ver solución razonada
I′=30−2q=0 da q=15. El ingreso es 225 y los bordes dan cero; es el máximo.
Práctica 2 · ¿Maximiza los ingresos la misma cantidad que el beneficio en el primer ejemplo?
Primera ayuda
Los ingresos son 40q−q².
Ver solución razonada
Los ingresos se maximizan en q=20, mientras el beneficio lo hace en q=18. El coste variable desplaza la decisión.
Práctica 3 · Una función objetivo tiene máximo continuo en q=7,4 y q debe ser entero. ¿Qué se hace?
Primera ayuda
No se decide solo redondeando el número.
Ver solución razonada
Se comparan los valores de la función en 7 y 8, si ambos son admisibles, y los demás candidatos o bordes relevantes según el problema. Se elige por el objetivo, no por cercanía decimal.
El error que debes evitar
No optimizar la magnitud equivocada. No descartar los extremos del intervalo. No tratar un óptimo continuo como recuento entero sin comprobar.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Para maximizar beneficio se deriva…
Solución y explicación
Respuesta: I−C. Debe construirse la magnitud que realmente se pide optimizar.
Un cambio de signo + a − en f′ indica…
Solución y explicación
Respuesta: Máximo local. La función pasa de aumentar a disminuir.
Los bordes de un intervalo cerrado…
Solución y explicación
Respuesta: Deben compararse. Un extremo absoluto puede encontrarse en ellos.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Por qué no basta resolver f′=0?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Hay que clasificar y comparar dentro del dominio.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué distingue ingreso y beneficio óptimos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El beneficio descuenta costes, que pueden cambiar la cantidad elegida.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo tratar cantidades enteras?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Evaluando opciones enteras admisibles, no redondeando ciegamente.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué debe incluir la respuesta final?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La decisión, el valor objetivo, las unidades y su justificación.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Representa ingresos, costes y beneficio del primer ejemplo en una tabla para q=15,18,20. Explica por qué vender más no siempre aumenta el beneficio.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.