Derivar funciones básicas y compuestas habituales en modelos sociales y económicos.
Míralo en un dibujo
Para y=(3x²+1)⁵, la derivada exterior es 5(3x²+1)⁴ y la interior es 6x. El producto es 30x(3x²+1)⁴.
Antes de seguir: ¿Qué factor falta en 5(3x²+1)⁴?
Comprueba tu razonamiento
La derivada interior 6x. Omitirla es el error característico de la regla de la cadena.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Derivadas básicas; Cuadráticas; Interpretación económica.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué factor aparece al derivar b^x?
ln b: la derivada es b^x ln b, con b>0.
En un minuto
- ln b: la derivada es b^x ln b, con b>0.
- Hay una función exterior actuando sobre una expresión interior.
- El menos que precede a uv′.
- La simplificación o la derivada no redefine el modelo en puntos excluidos.
Entiende la idea
El concepto
Las reglas de derivación se aplican a la estructura de una expresión. Una constante deriva a cero y un término ax^n a anx^(n−1) donde esté definido. Las sumas se derivan término a término. Cuando una expresión puede simplificarse, hacerlo primero puede evitar errores, pero las restricciones del dominio inicial deben conservarse.
En un producto uv se usa u′v+uv′. En un cociente se usa (u′v−uv′)/v², con denominador no nulo. Multiplicar derivadas no deriva un producto; dividirlas no deriva un cociente. Si el numerador o denominador tiene varios términos, los paréntesis son necesarios para distribuir correctamente el signo menos.
Cómo utilizarlo sin errores
La regla de la cadena se usa cuando una función contiene otra. Se deriva la capa exterior y se multiplica por la derivada de la interior. Así, una potencia de 2x+1 debe llevar el factor 2, y ln(g(x)) produce g′(x)/g(x) donde g(x)>0. La función e^x se deriva a sí misma; una exponencial b^x añade el factor ln b.
El procedimiento fiable es identificar operación principal, nombrar las partes, aplicar la regla y simplificar. Después se revisan factores, signos y dominio. Una derivada obtenida mediante álgebra puede ser válida en un conjunto mayor que la función inicial; para estudiar el modelo se conserva el dominio de partida. Las aproximaciones numéricas cerca de un punto sirven de comprobación orientativa, no sustituyen la derivación justificada.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
(x^n)′=nx^(n−1). (e^u)′=e^u u′. (lnu)′=u′/u, u>0. (u/v)′=(u′v−uv′)/v².
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Deriva f(x)=(2x+1)³.
- La operación exterior es una potencia cúbica y la interior es u=2x+1.
- f′=3u²·u′=3(2x+1)²·2.
- Resultado: 6(2x+1)². El factor interior 2 es imprescindible.
Ejemplo 2 · Deriva el coste medio C_m(q)=(100+5q)/q para q>0.
- Simplificamos C_m(q)=100q^(−1)+5.
- La derivada es −100q^(−2)=−100/q².
- Es negativa para q>0, así que el coste medio disminuye en ese dominio. El coste total, en cambio, tiene derivada 5.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Deriva 4x³−2x+9.
Primera ayuda
Aplica linealidad.
Ver solución razonada
La derivada es 12x²−2. La constante 9 deriva a cero.
Práctica 2 · Deriva x ln x con x>0.
Primera ayuda
Se trata de un producto.
Ver solución razonada
f′=1·lnx+x·(1/x)=lnx+1, con el dominio original x>0.
Práctica 3 · Deriva e^(−0,2t).
Primera ayuda
La derivada del exponente es −0,2.
Ver solución razonada
f′(t)=−0,2e^(−0,2t). El signo negativo expresa que la exponencial decrece.
El error que debes evitar
No omitir derivadas interiores. No derivar un cociente dividiendo derivadas. No concluir que el coste total baja porque lo haga el coste medio.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La derivada de 7 es…
Solución y explicación
Respuesta: 0. Es una cantidad constante.
La derivada de ln(3x) para x>0 es…
Solución y explicación
Respuesta: 1/x. La cadena da 3/(3x)=1/x.
Para derivar un producto se usa…
Solución y explicación
Respuesta: u′v+uv′. Cada factor se deriva por turno mientras el otro se conserva.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué factor aparece al derivar b^x?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
ln b: la derivada es b^x ln b, con b>0.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se reconoce una cadena?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Hay una función exterior actuando sobre una expresión interior.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué signo suele perderse en un cociente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El menos que precede a uv′.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué conservar el dominio original?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La simplificación o la derivada no redefine el modelo en puntos excluidos.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Deriva un mismo cociente por la regla general y simplificando antes. Comprueba que las dos respuestas coinciden en el dominio original.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
Consolida el tema completo
Abrir resumen, esquema y refuerzo de Derivadas y decisiones
Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.