Interpretar tasas medias, derivadas y magnitudes marginales con sus unidades y limitaciones.
Míralo en un dibujo
La curva y=x² tiene en (1,1) una recta tangente y=2x−1. La derivada f′(1)=2 mide su pendiente.
Antes de seguir: ¿Qué expresa aquí f′(1)=2?
Comprueba tu razonamiento
Que cerca de x=1 la función cambia aproximadamente 2 unidades de y por cada unidad pequeña de x.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Derivadas básicas; Cuadráticas; Interpretación económica.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué unidades tiene una derivada?
Unidades de la salida divididas por unidades de la entrada.
En un minuto
- Unidades de la salida divididas por unidades de la entrada.
- No: C(q)/q frente a C′(q).
- No; suele aproximarlo cuando el modelo cambia suavemente.
- Una aproximación lineal local con pendiente f′(a).
Entiende la idea
El concepto
Una tasa de variación compara cambios: incremento de la variable dependiente dividido por incremento de la independiente. La tasa media entre a y b es (f(b)−f(a))/(b−a). En una gráfica es la pendiente de la secante. Puede representar euros por producto, personas por año o puntos de un indicador por mes. Las unidades forman parte del significado del resultado.
La derivada toma el límite de esa tasa cuando el intervalo se hace muy pequeño. El valor f′(a) es una tasa instantánea y la pendiente de la tangente. No es el valor de la función ni la variación total. Una derivada negativa indica que la magnitud está disminuyendo localmente, pero no que la magnitud misma sea negativa.
Cómo utilizarlo sin errores
En modelos económicos, el coste marginal se representa a menudo por C′(q). Aproxima el cambio de coste al aumentar ligeramente la producción. Para una unidad adicional, C(q+1)−C(q) es la variación exacta del modelo discreto y C′(q) una aproximación; no tienen por qué coincidir. El coste medio C(q)/q es otra magnitud distinta.
La derivada existe cuando coinciden los límites laterales del cociente incremental y son finitos. Una función continua por tramos puede tener una esquina y no ser derivable en la unión. La recta tangente ayuda a estimar variaciones pequeñas, pero no debe extrapolarse sin límite. Primero interpreta el modelo y después usa la operación; un símbolo de derivada no convierte una relación ficticia en un pronóstico observado.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
TVM=(f(b)−f(a))/(b−a). f′(a)=lim(h→0)(f(a+h)−f(a))/h. C(q+Δq)−C(q)≈C′(q)Δq.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Sea C(q)=100+2q+0,1q². Compara el coste marginal en q=10 con el coste exacto de pasar de 10 a 11 unidades.
- C′(q)=2+0,2q, así que C′(10)=4 unidades monetarias por producto.
- C(10)=130 y C(11)=134,1. El incremento exacto es 4,1.
- La derivada aproxima el incremento de una unidad, pero no lo iguala porque la tasa también cambia durante ese incremento.
Ejemplo 2 · En el mismo modelo, calcula la tasa media de coste entre 10 y 20.
- C(10)=130 y C(20)=100+40+40=180.
- La tasa media es (180−130)/(20−10)=5 unidades monetarias por producto.
- Es distinta de la marginal en 10, que era 4, porque resume un intervalo completo.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Si f(t)=5t², calcula su derivada e interpreta el valor en t=2.
Primera ayuda
Usa la derivada de una potencia.
Ver solución razonada
f′(t)=10t y f′(2)=20. La magnitud cambia instantáneamente a razón de 20 unidades de salida por unidad de tiempo.
Práctica 2 · Una función vale 100 y su derivada −3 en cierto punto. ¿Es negativa la función?
Primera ayuda
Distingue nivel y tendencia.
Ver solución razonada
No. Su valor es 100, positivo. La derivada −3 indica disminución local, no un nivel negativo.
Práctica 3 · Halla la tangente de C(q) del ejemplo en q=10.
Primera ayuda
Usa el punto (10,130) y pendiente 4.
Ver solución razonada
y−130=4(q−10), es decir, y=4q+90. La recta es una aproximación local del coste.
El error que debes evitar
No confundir nivel, cambio total y tasa. No presentar una aproximación marginal como incremento exacto. No perder las unidades.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
El coste marginal se asocia a…
Solución y explicación
Respuesta: C′(q). Es una tasa de cambio, no un coste medio.
Una derivada negativa significa…
Solución y explicación
Respuesta: Disminución local. El signo de la tendencia no determina el signo del nivel.
Una tasa media utiliza…
Solución y explicación
Respuesta: Dos valores de entrada. Compara un intervalo mediante su cambio total.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué unidades tiene una derivada?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Unidades de la salida divididas por unidades de la entrada.
Intenta responder antes de mirar.
¿Coste medio y marginal son iguales?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: C(q)/q frente a C′(q).
Intenta responder antes de mirar.
¿La derivada da siempre el incremento exacto de una unidad?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No; suele aproximarlo cuando el modelo cambia suavemente.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué representa una tangente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Una aproximación lineal local con pendiente f′(a).
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Calcula el incremento exacto de 10 a 10,1 unidades en el modelo continuo y compáralo con 4·0,1. Explica por qué la aproximación mejora.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.