Construir funciones por tramos y ajustar sus uniones sin perder el significado de una tarifa.
Míralo en un dibujo
La función es x+1 para x<2 y x−1 para x≥2. El límite por la izquierda es 3 y por la derecha es 1; no hay límite bilateral en 2.
Antes de seguir: ¿Se arregla el salto cambiando solo f(2)?
Comprueba tu razonamiento
No. Los límites laterales son distintos, independientemente del valor aislado que se asigne a f(2).
Antes de empezar
Necesitas manejar: Funciones; Intervalos; Límites laterales.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué debe aclararse en cada borde?
Qué rama incluye la igualdad.
En un minuto
- Qué rama incluye la igualdad.
- Comprobando que cae dentro del intervalo de la rama utilizada.
- En la esquina los valores se unen; en el salto los laterales difieren.
- Igualando los límites laterales y verificando el valor del punto.
Entiende la idea
El concepto
Una función a trozos usa expresiones diferentes según el intervalo de la entrada. Es adecuada para tarifas progresivas, impuestos ficticios, descuentos o reglas con umbrales. La definición debe dejar claro qué tramo incluye cada borde, y cubrir exactamente el dominio previsto. No debe asignar dos valores distintos a una misma entrada ni dejar huecos accidentales.
Hay dos formas muy diferentes de aplicar un cambio de precio. Una tarifa marginal cobra cada tramo de consumo a su precio; una tarifa que cambia el precio de todas las unidades puede producir un salto. Leer la frase «a partir de diez» no basta: hay que aclarar si cambia solo el exceso o toda la cantidad. El modelo matemático depende de esa interpretación.
Cómo utilizarlo sin errores
Para estudiar continuidad en un umbral a, calcula límite por cada lado y valor de f(a). Los tramos pueden tener pendientes distintas y aun así unirse de forma continua. Eso crea una esquina, no necesariamente un salto. Si hay un parámetro, igualar los valores límite permite ajustarlo, pero la condición debe tener sentido en el contexto.
Al evaluar un valor, primero elige el tramo y luego sustituye. En problemas inversos, resuelve dentro de cada rama y comprueba si el candidato pertenece al intervalo de esa rama. Es posible que una cantidad final tenga varios valores de entrada o ninguno. La revisión evita aceptar una solución que usa una fórmula fuera de su zona.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Continuidad en a: límite izquierdo=límite derecho=f(a). Una tarifa marginal acumula el coste anterior y añade el coste del exceso.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Una tarifa cobra 5 € por unidad hasta diez y 3 € por cada unidad adicional. Escribe C(x) para x≥0.
- Para 0≤x≤10, C(x)=5x.
- Para x>10, las diez primeras cuestan 50 y el exceso 3(x−10): C(x)=50+3(x−10)=3x+20.
- En x=10 ambas fórmulas dan 50. Es continua, aunque la pendiente cambia de 5 a 3.
Ejemplo 2 · Ajusta a en f(x)=20+2x para 0≤x<10 y f(x)=a+x para x≥10, exigiendo continuidad.
- El límite izquierdo en 10 es 20+20=40.
- El derecho y el valor en 10 son a+10. Igualamos a+10=40.
- Resulta a=30. Con ese ajuste no hay salto, aunque las tasas de cambio difieren.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula el coste de 14 unidades en la tarifa del primer ejemplo.
Primera ayuda
Usa el coste de las diez primeras más el exceso.
Ver solución razonada
C(14)=50+3·4=62 €. No es 14·3=42 €, porque el precio reducido solo se aplica a las cuatro adicionales.
Práctica 2 · ¿Qué consumo produce un coste de 35 € en esa tarifa?
Primera ayuda
Prueba la rama inicial y comprueba su intervalo.
Ver solución razonada
5x=35 da x=7, que pertenece a [0,10]. En la segunda rama, 3x+20=35 daría x=5, pero ese valor no cumple x>10 y se descarta.
Práctica 3 · Una tarifa cobra 5x para x<10 y 4x para x≥10. ¿Es continua en 10?
Primera ayuda
Ahora cambia el precio de todas las unidades.
Ver solución razonada
El límite izquierdo es 50 y el derecho y el valor son 40. Hay un salto descendente de 10 €, no una tarifa marginal continua.
El error que debes evitar
No aplicar el precio del exceso a todas las unidades si el enunciado no lo dice. No evaluar con la rama equivocada. No aceptar candidatos fuera de su tramo.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Antes de sustituir en una función a trozos hay que…
Solución y explicación
Respuesta: Elegir el tramo correspondiente. La fórmula válida depende del intervalo de entrada.
Pendientes diferentes en una unión…
Solución y explicación
Respuesta: Pueden formar una unión continua. La continuidad exige igualdad de valores, no de pendientes.
En una tarifa marginal, el exceso…
Solución y explicación
Respuesta: Se añade al coste acumulado de tramos anteriores. Cada bloque de consumo mantiene la tarifa que le corresponde.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué debe aclararse en cada borde?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Qué rama incluye la igualdad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se valida una solución inversa por tramos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Comprobando que cae dentro del intervalo de la rama utilizada.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué diferencia esquina y salto?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
En la esquina los valores se unen; en el salto los laterales difieren.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo ajustar un parámetro para continuidad?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Igualando los límites laterales y verificando el valor del punto.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Redacta con palabras inequívocas las dos tarifas del ejemplo y del último ejercicio. Explica por qué una es continua y la otra no.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
Consolida el tema completo
Abrir resumen, esquema y refuerzo de Límites y continuidad
Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.