Identificar asíntotas y discontinuidades e interpretar qué dicen y qué no dicen de un modelo.
Míralo en un dibujo
Se representa y=1/(x−1)+1, con asíntota vertical x=1 y horizontal y=1. La función no está definida en x=1.
Antes de seguir: ¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende a +∞?
Comprueba tu razonamiento
Es 1: el término 1/(x−1) tiende a cero.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Funciones; Intervalos; Límites laterales.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué diferencia hueco y asíntota vertical?
En el hueco el límite es finito; en la asíntota algún lado diverge.
En un minuto
- En el hueco el límite es finito; en la asíntota algún lado diverge.
- Sí, los dos extremos se estudian por separado.
- Límites laterales finitos y diferentes.
- No; la gráfica puede cruzarla en puntos finitos.
Entiende la idea
El concepto
Las asíntotas describen tendencias de una gráfica. Una vertical x=a aparece si al menos un límite lateral de f al aproximarse a a es infinito. Una horizontal y=L aparece cuando f(x) tiende a L en uno de los extremos infinitos. No deben confundirse: una fija una entrada problemática y la otra un nivel de salida al que se aproxima el modelo.
Un denominador nulo es un punto que debe estudiarse, pero no garantiza una asíntota vertical. Si un factor común se cancela y queda un límite finito, hay una discontinuidad evitable o hueco. En cambio, un cociente con numerador no nulo y denominador que tiende a cero suele producir divergencia; el signo requiere revisar cada lado.
Cómo utilizarlo sin errores
Un salto aparece cuando los laterales finitos difieren, como en una tarifa por tramos. Si ambos coinciden pero el valor del punto es distinto o falta, la discontinuidad es evitable. Si algún lado diverge, es infinita. Estas categorías ayudan a saber si basta modificar un único valor o si el comportamiento de los tramos es realmente diferente.
Una gráfica puede cortar una asíntota horizontal: la definición solo se refiere a lo que ocurre lejos. En modelos sociales, una asíntota vertical puede revelar un límite de validez, no un fenómeno real que alcance cantidades infinitas. El análisis debe informar del dominio usado y evitar interpretar literalmente fórmulas fuera de la región donde fueron planteadas.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Vertical: lim(x→a±)f(x)=±∞ en algún lado. Horizontal: lim(x→±∞)f(x)=L. Evitable: límite finito existente que no coincide con el valor.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Analiza f(q)=100+50/(q−2) para q>2.
- El dominio contextual está a la derecha de 2. Cuando q→2⁺, el denominador es positivo y muy pequeño, por lo que f→+∞.
- Hay asíntota vertical x=2 por ese lado. Cuando q→∞, la fracción tiende a cero y f→100.
- La horizontal es y=100. Para q>2 la función permanece por encima de 100; el modelo no permite evaluar q=2.
Ejemplo 2 · Compara (x²−9)/(x−3) y 1/(x−3) en x=3.
- La primera coincide con x+3 para x≠3, de modo que su límite es 6: tiene un hueco.
- La segunda tiende a −∞ por la izquierda y +∞ por la derecha.
- Solo la segunda tiene asíntota vertical x=3. El mismo denominador no determina por sí solo el resultado.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Halla las asíntotas de f(x)=2+1/(x+1).
Primera ayuda
Localiza el cero del denominador y el límite al infinito.
Ver solución razonada
La vertical es x=−1 y la horizontal y=2. El numerador de la fracción nunca se anula.
Práctica 2 · Si una función tiene límites laterales 4 y 7, clasifica la discontinuidad.
Primera ayuda
Ambos son finitos pero distintos.
Ver solución razonada
Es una discontinuidad de salto. No se elimina cambiando únicamente el valor exacto del punto.
Práctica 3 · ¿Es correcto afirmar que ninguna gráfica puede cruzar y=L si es asíntota horizontal?
Primera ayuda
Recuerda que la definición se refiere al infinito.
Ver solución razonada
No. Puede cruzarla en puntos finitos y después aproximarse a ella. El comportamiento global debe estudiarse en cada función.
El error que debes evitar
No escribir y=a para una asíntota vertical. No declarar divergencia solo por ver un cero. No interpretar un infinito matemático como dato observado.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La asíntota y=3 es…
Solución y explicación
Respuesta: Horizontal. La ecuación fija una altura de la gráfica.
Un hueco presenta…
Solución y explicación
Respuesta: Límite finito. El defecto está en el valor del punto, no en una divergencia.
Un modelo con salida infinita cerca de un umbral…
Solución y explicación
Respuesta: Puede estar fuera de su validez física o social. Las fórmulas idealizan y deben contrastarse con el contexto.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué diferencia hueco y asíntota vertical?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
En el hueco el límite es finito; en la asíntota algún lado diverge.
Intenta responder antes de mirar.
¿Puede haber distintas horizontales en +∞ y −∞?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Sí, los dos extremos se estudian por separado.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa discontinuidad de salto?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Límites laterales finitos y diferentes.
Intenta responder antes de mirar.
¿Una horizontal es una barrera absoluta?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No; la gráfica puede cruzarla en puntos finitos.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Para f(q) del ejemplo, calcula q=3,7 y 52. Relaciona la disminución de la fracción con la aproximación al nivel 100.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.