Calcular límites e interpretar tendencias de modelos sin confundirlas con valores alcanzados.
Míralo en un dibujo
Se representa y=x+1 para x distinto de 2, con un hueco en (2,3) y un punto aislado en (2,1). El límite en 2 vale 3, aunque el valor de la función en 2 sea 1.
Antes de seguir: ¿Qué habría que cambiar para lograr continuidad en x=2?
Comprueba tu razonamiento
Definir f(2)=3. Los valores cercanos ya se aproximan a 3 por ambos lados.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Funciones; Intervalos; Límites laterales.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué informa un límite al infinito?
El comportamiento de la salida cuando la entrada crece sin cota.
En un minuto
- El comportamiento de la salida cuando la entrada crece sin cota.
- Comparar grados o dividir por la potencia dominante.
- La simplificación no redefine la función original en ese punto.
- No; el contexto puede limitar el uso del modelo.
Entiende la idea
El concepto
Un límite describe el comportamiento de una función cuando la entrada se acerca a un punto o crece sin cota. No exige que la entrada alcance ese punto ni que la salida llegue exactamente al valor límite. Esta distinción es útil al interpretar costes medios, saturaciones o expresiones que no están definidas en una cantidad concreta.
Si una función es continua en el punto, sustituir permite obtener el límite. En una fracción, la sustitución directa es válida cuando el denominador no tiende a cero. La forma 0/0 requiere una transformación, como factorizar. La forma ∞/∞ se resuelve a menudo comparando grados y términos dominantes. Ninguna de ellas es un número que pueda tratarse como resultado.
Cómo utilizarlo sin errores
Los límites laterales representan aproximaciones desde valores menores y mayores. En una tarifa con tramos pueden ser distintos, y entonces no existe límite bilateral. La definición del valor exacto en el umbral tampoco decide por sí sola la coincidencia de los lados. Dibujar un punto cerrado o abierto en cada tramo ayuda a separar estas cuestiones.
En un modelo aplicado, un límite puede describir una tendencia ideal sin ser alcanzable. Por ejemplo, el coste medio F/q+v se aproxima a v al aumentar q, pero si F>0 sigue siendo mayor que v para cualquier q finito. Además, producir cantidades ilimitadas puede estar fuera del contexto. La interpretación correcta reconoce tanto la conclusión matemática como la hipótesis que la hace útil.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
lim(q→∞)(F/q+v)=v. Si lim(x→a⁻)f≠lim(x→a⁺)f, no existe límite bilateral.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Estudia el límite del coste medio C_m(q)=120/q+6 cuando q crece.
- Al aumentar q, 120/q tiende a cero.
- El límite es 6 unidades monetarias por producto.
- Para cada q>0 finito, C_m(q)>6. El valor límite no se alcanza dentro del modelo con coste fijo positivo.
Ejemplo 2 · Calcula lim(x→10)(x²−100)/(x−10).
- La sustitución produce 0/0. Factorizamos x²−100=(x−10)(x+10).
- Para x≠10 se cancela el factor y queda x+10.
- El límite es 20, aunque la fracción original no está definida en x=10.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula lim(x→∞)(5x+2)/(2x+7).
Primera ayuda
Divide numerador y denominador por x.
Ver solución razonada
La expresión queda (5+2/x)/(2+7/x), que tiende a 5/2.
Práctica 2 · Una tarifa vale 10 si x<5 y 15 si x≥5. ¿Tiene límite bilateral en 5?
Primera ayuda
Compara el precio desde cada lado.
Ver solución razonada
No. El límite izquierdo es 10 y el derecho 15; el valor en 5 es 15, pero eso no iguala los laterales.
Práctica 3 · Calcula lim(x→2)(3x²−x+4).
Primera ayuda
Es un polinomio.
Ver solución razonada
Sustituyendo: 12−2+4=14.
El error que debes evitar
No convertir una tendencia en una predicción real ilimitada. No asignar a 0/0 un valor. No confundir f(a) con el límite alrededor de a.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Un límite de coste medio puede…
Solución y explicación
Respuesta: Ser una tendencia no alcanzada. Una aproximación límite no obliga a alcanzar el valor para una entrada finita.
0/0 significa…
Solución y explicación
Respuesta: Indeterminación. Hace falta transformar o estudiar la expresión.
Los laterales deben…
Solución y explicación
Respuesta: Coincidir para un límite bilateral finito. Ambas aproximaciones deben conducir al mismo valor.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué informa un límite al infinito?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El comportamiento de la salida cuando la entrada crece sin cota.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué técnica ayuda en fracciones de polinomios al infinito?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Comparar grados o dividir por la potencia dominante.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué se conserva un punto excluido tras factorizar?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La simplificación no redefine la función original en ese punto.
Intenta responder antes de mirar.
¿Un límite matemático justifica producir infinitamente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No; el contexto puede limitar el uso del modelo.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Calcula el coste medio para q=10,100 y 1.000. Explica por qué cada vez se aproxima más a 6 sin igualarlo.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.