Tres ideas para ver el tema con claridad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I · Unidad 4
Una tarifa por tramos necesita reglas de frontera claras: importa si el extremo se incluye o no.
Lecciones del tema
Resumen y esquema de decisión
Una tarifa por tramos necesita reglas de frontera claras: importa si el extremo se incluye o no.
- Lee qué tramo contiene cada frontera.
- Calcula ambos límites laterales.
- Compara con el valor asignado en el punto.
- Explica si hay salto, hueco o continuidad en términos del problema.
01 · Límites y comportamiento de funciones
Calcular límites e interpretar tendencias de modelos sin confundirlas con valores alcanzados.
- El comportamiento de la salida cuando la entrada crece sin cota.
- Comparar grados o dividir por la potencia dominante.
02 · Asíntotas y discontinuidades
Identificar asíntotas y discontinuidades e interpretar qué dicen y qué no dicen de un modelo.
- En el hueco el límite es finito; en la asíntota algún lado diverge.
- Sí, los dos extremos se estudian por separado.
03 · Funciones definidas a trozos
Construir funciones por tramos y ajustar sus uniones sin perder el significado de una tarifa.
- Qué rama incluye la igualdad.
- Comprobando que cae dentro del intervalo de la rama utilizada.
Formulario del tema
Límites y comportamiento de funciones
Asíntotas y discontinuidades
Funciones definidas a trozos
Refuerzo 1 · Recuperación activa
Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.
¿Qué técnica ayuda en fracciones de polinomios al infinito?
Comparar grados o dividir por la potencia dominante.
¿Puede haber distintas horizontales en +∞ y −∞?
Sí, los dos extremos se estudian por separado.
¿Cómo se valida una solución inversa por tramos?
Comprobando que cae dentro del intervalo de la rama utilizada.
Refuerzo 2 · Detecta el error
Una resolución afirma: En una función por tramos basta sustituir en uno de ellos para probar continuidad.
Localiza el fallo, explica por qué no es válido y corrígelo antes de abrir la respuesta.
Contrastar mi corrección
La sustitución solo da un valor o un límite lateral. La continuidad exige coincidencia de los dos límites y del valor de la función.
Refuerzo 3 · Reto de transferencia
f(x)=2x+1 para x<3 y f(x)=x+k para x≥3. Halla k para que no haya salto.
Ver desarrollo y comprobación
El límite izquierdo es 7. A la derecha y en x=3 el valor es 3+k. Igualando 3+k=7 resulta k=4; ambos tramos coinciden en la frontera.
Refuerzo 4 · Minitest mixto
Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.
Un límite de coste medio puede…
Solución y explicación
Respuesta: Ser una tendencia no alcanzada. Una aproximación límite no obliga a alcanzar el valor para una entrada finita.
La asíntota y=3 es…
Solución y explicación
Respuesta: Horizontal. La ecuación fija una altura de la gráfica.
Antes de sustituir en una función a trozos hay que…
Solución y explicación
Respuesta: Elegir el tramo correspondiente. La fórmula válida depende del intervalo de entrada.
0/0 significa…
Solución y explicación
Respuesta: Indeterminación. Hace falta transformar o estudiar la expresión.
Un hueco presenta…
Solución y explicación
Respuesta: Límite finito. El defecto está en el valor del punto, no en una divergencia.
Pendientes diferentes en una unión…
Solución y explicación
Respuesta: Pueden formar una unión continua. La continuidad exige igualdad de valores, no de pendientes.
Los laterales deben…
Solución y explicación
Respuesta: Coincidir para un límite bilateral finito. Ambas aproximaciones deben conducir al mismo valor.
Un modelo con salida infinita cerca de un umbral…
Solución y explicación
Respuesta: Puede estar fuera de su validez física o social. Las fórmulas idealizan y deben contrastarse con el contexto.
En una tarifa marginal, el exceso…
Solución y explicación
Respuesta: Se añade al coste acumulado de tramos anteriores. Cada bloque de consumo mantiene la tarifa que le corresponde.
Refuerzo 5 · Flashcards del tema
Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.
¿Qué informa un límite al infinito?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El comportamiento de la salida cuando la entrada crece sin cota.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué técnica ayuda en fracciones de polinomios al infinito?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Comparar grados o dividir por la potencia dominante.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué se conserva un punto excluido tras factorizar?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La simplificación no redefine la función original en ese punto.
Intenta responder antes de mirar.
¿Un límite matemático justifica producir infinitamente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No; el contexto puede limitar el uso del modelo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué diferencia hueco y asíntota vertical?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
En el hueco el límite es finito; en la asíntota algún lado diverge.
Intenta responder antes de mirar.
¿Puede haber distintas horizontales en +∞ y −∞?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Sí, los dos extremos se estudian por separado.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa discontinuidad de salto?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Límites laterales finitos y diferentes.
Intenta responder antes de mirar.
¿Una horizontal es una barrera absoluta?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No; la gráfica puede cruzarla en puntos finitos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué debe aclararse en cada borde?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Qué rama incluye la igualdad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se valida una solución inversa por tramos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Comprobando que cae dentro del intervalo de la rama utilizada.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué diferencia esquina y salto?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
En la esquina los valores se unen; en el salto los laterales difieren.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo ajustar un parámetro para continuidad?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Igualando los límites laterales y verificando el valor del punto.
Intenta responder antes de mirar.
Refuerzo 6 · Mezcla con un tema anterior
Cambia de procedimiento para comprobar si puedes elegirlo sin que el título del tema te lo indique.
Una gráfica corta una misma vertical en dos puntos distintos. ¿Representa y como función de x?
Comparar mi solución
No, porque ese x tendría dos valores de y. Puede representar otra relación, pero no una función y=f(x).
Una cantidad se duplica cada cuatro periodos y comienza en 80. Escribe el modelo y calcula el valor tras ocho.
Comparar mi solución
P(t)=80·2^(t/4). Para t=8 hay dos duplicaciones: P(8)=320.
Un plan de repaso adaptable
Hoy: haz el reto y registra el error. En 1 día: recupera las tarjetas difíciles. En 3 días: resuelve de nuevo sin mirar. En 7 días: mezcla este tema con otro. En 14 días: revisa lo que siga costando. Adelanta o retrasa sesiones según el examen y tu recuerdo real; estas fechas son una pauta, no una receta óptima universal.
Marca «lo recordaba» solo si pudiste responder antes de ver la solución. Estudiar no consiste en pasar tarjetas rápidamente.
Mi registro de errores
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.
Recursos para dominar este tema
Cuando termines las lecciones, utiliza estos cuatro recursos según lo que necesites: repasar, practicar, comprobarte o corregir errores.