Analizar funciones polinómicas y racionales y usarlas para costes, ingresos y costes medios.
Míralo en un dibujo
Se representa y=1/(x−1)+1, con asíntota vertical x=1 y horizontal y=1. La función no está definida en x=1.
Antes de seguir: ¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende a +∞?
Comprueba tu razonamiento
Es 1: el término 1/(x−1) tiende a cero.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Porcentajes; Ecuaciones; Ejes coordenados.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué expresa el vértice de una cuadrática?
El punto donde cambia de crecer a decrecer o viceversa.
En un minuto
- El punto donde cambia de crecer a decrecer o viceversa.
- Su denominador no puede valer cero.
- El medio reparte el total entre unidades; no es la suma gastada.
- Hasta qué cantidades conserva precios no negativos.
Entiende la idea
El concepto
Las funciones polinómicas combinan potencias enteras no negativas de la variable. Una lineal describe un cambio constante y una cuadrática permite crecimiento seguido de decrecimiento, o al contrario. En una parábola, completar cuadrados muestra el vértice y permite identificar un máximo o mínimo sin calcular todavía derivadas.
Las funciones racionales son cocientes de polinomios. Su dominio excluye los ceros del denominador original. Si se simplifica un factor común, la expresión puede parecer definida en más puntos, pero la función inicial conserva sus exclusiones. Esta distinción importa al interpretar un coste medio, que no existe para producción cero aunque el coste total sí esté definido.
Cómo utilizarlo sin errores
El coste medio se calcula como C(q)/q para q>0. Si C(q)=F+vq, se obtiene F/q+v: al aumentar q, el coste fijo se reparte entre más unidades. Esto no implica que el coste total disminuya ni que se pueda producir ilimitadamente. Una función de ingresos como I(q)=q(p₀−aq) es cuadrática y exige revisar el rango donde el precio permanece no negativo.
Para dibujar una función, calcula primero dominio, cortes y elementos estructurales; después añade puntos de control. El grado no basta para interpretar un modelo: los coeficientes y el dominio pueden cambiar por completo su sentido. En un contexto de cantidades enteras, una parábola continua es una aproximación útil, pero la elección final debe respetar los valores admisibles.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Vértice de ax²+bx+c: x_v=−b/(2a), a≠0. Coste medio=C(q)/q, q>0.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Escribe I(q)=20q−q² en forma de vértice y halla su máximo en [0,20].
- Completamos cuadrados: I(q)=100−(q−10)².
- El cuadrado es no negativo, así que I(q)≤100, con igualdad en q=10.
- El ingreso máximo es 100 unidades monetarias. El modelo de precio asociado p=20−q es no negativo en el dominio dado.
Ejemplo 2 · Si C(q)=120+6q, calcula el coste medio y compáralo para 10 y 30 unidades.
- C_m(q)=120/q+6, para q>0.
- C_m(10)=18 y C_m(30)=10 unidades monetarias por producto.
- El coste medio disminuye, pero el coste total sube de 180 a 300. Son magnitudes diferentes.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Encuentra el vértice de f(x)=x²−6x+5.
Primera ayuda
Completa el cuadrado.
Ver solución razonada
f(x)=(x−3)²−4. El vértice es (3,−4) y es un mínimo.
Práctica 2 · Simplifica (x²−4)/(x−2) e indica la exclusión original.
Primera ayuda
Factoriza el numerador.
Ver solución razonada
Para x≠2, la expresión vale x+2. El dominio de la función original sigue excluyendo x=2.
Práctica 3 · Si p(q)=12−2q, ¿para qué cantidades no negativas es el precio admisible y cuál es el ingreso?
Primera ayuda
Exige p(q)≥0.
Ver solución razonada
0≤q≤6 y I(q)=12q−2q². Si q cuenta objetos, se restringe además a enteros.
El error que debes evitar
No afirmar que baja el coste total porque baje el medio. No eliminar restricciones al cancelar. No aceptar precios negativos sin significado.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
El coste medio en producción cero…
Solución y explicación
Respuesta: No se define mediante C(0)/0. La división entre cero no está definida.
Una parábola con a<0 tiene…
Solución y explicación
Respuesta: Apertura hacia abajo. Su vértice es un máximo en el dominio real completo.
Cancelar un factor común en una fracción…
Solución y explicación
Respuesta: No borra las exclusiones originales. Las expresiones coinciden donde la original está definida.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué expresa el vértice de una cuadrática?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El punto donde cambia de crecer a decrecer o viceversa.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuál es la restricción básica de una racional?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Su denominador no puede valer cero.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué distingue coste medio y total?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El medio reparte el total entre unidades; no es la suma gastada.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hay que revisar en una demanda lineal decreciente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Hasta qué cantidades conserva precios no negativos.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Explica qué ocurre con 120/q cuando q crece. Relaciona la observación con el reparto del coste fijo entre más unidades.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
Consolida el tema completo
Abrir resumen, esquema y refuerzo de Funciones elementales
Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.