Identificar variables, dominio y recorrido y traducir entre fórmulas, tablas y gráficas.
Míralo en un dibujo
La función y=√(x−1) empieza en (1,0), incluido. Su dominio es [1,+∞): el radicando no puede ser negativo en los reales.
Antes de seguir: ¿Existe un valor real de esta función para x=0?
Comprueba tu razonamiento
No; el radicando sería −1. La gráfica no se prolonga hacia esos valores de x.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Porcentajes; Ecuaciones; Ejes coordenados.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué debe llevar cada eje de una gráfica aplicada?
Nombre de la variable y unidades, además de una escala clara.
En un minuto
- Nombre de la variable y unidades, además de una escala clara.
- Cuando representan categorías o cantidades discretas sin modelo continuo justificado.
- La salida para entrada cero, si pertenece al dominio.
- La misma relación, las mismas unidades y las mismas restricciones.
Entiende la idea
El concepto
Una función relaciona una entrada con una única salida. En un modelo, la variable independiente se elige como la cantidad desde la que se calcula otra: tiempo y población, unidades vendidas e ingresos, distancia y coste. Decidir cuál es cuál depende de la pregunta, no del orden de las palabras del enunciado. Siempre deben anotarse las unidades de ambos ejes.
El dominio es el conjunto de entradas admitidas; el recorrido recoge las salidas obtenidas. El dominio algebraico puede ser más amplio que el contextual. Por ejemplo, una fórmula de coste puede aceptar todos los reales, pero una cantidad de productos solo admite enteros no negativos. Si hay una raíz cuadrada se exige radicando no negativo; un denominador no puede anularse y el argumento de un logaritmo debe ser positivo.
Cómo utilizarlo sin errores
Una tabla organiza valores concretos, mientras una gráfica permite reconocer tendencias, umbrales y cambios de ritmo. No debe unirse automáticamente con segmentos una tabla de categorías ni extrapolar un patrón entre puntos sin una hipótesis. La escala de los ejes puede cambiar la impresión visual de una variación sin cambiar los datos.
Los cortes con los ejes, los intervalos de crecimiento y los extremos ayudan a describir un modelo. Una transformación compuesta puede leerse como dos funciones sucesivas: primero calcular una cantidad y luego aplicarle una tarifa. Si se puede deshacer de forma única, existe una inversa en el dominio elegido. El propósito es que fórmula, tabla, gráfica y relato expresen la misma relación.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Dominio: entradas permitidas. Recorrido: valores de salida. Composición: (f∘g)(x)=f(g(x)).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Una tarifa ficticia es C(k)=4+2k para viajes de entre 0 y 20 km. Interpreta su gráfica.
- k mide kilómetros y C euros. El dominio contextual continuo es [0,20].
- El coste inicial es C(0)=4 y cada kilómetro añade 2. El recorrido es [4,44].
- La gráfica es un segmento de recta; no se prolonga a kilómetros negativos ni se afirma que la tarifa siga igual después de 20.
Ejemplo 2 · Halla el dominio de f(x)=ln(x−2)/(x−5).
- El logaritmo exige x−2>0, luego x>2.
- El denominador excluye x=5.
- Combinando: (2,5)∪(5,∞). El punto 2 queda fuera aunque un extremo cerrado pareciera cómodo en el dibujo.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Una tienda dispone de 12 artículos y cobra 7 € por unidad. Escribe dominio y recorrido de I(q)=7q.
Primera ayuda
La cantidad es entera.
Ver solución razonada
Dominio: {0,1,…,12}. Recorrido: {0,7,14,…,84}. No son todos los puntos de los intervalos correspondientes.
Práctica 2 · Halla el corte vertical de f(x)=3x−8.
Primera ayuda
Sustituye x=0.
Ver solución razonada
f(0)=−8, así que el corte es (0,−8).
Práctica 3 · Una gráfica corta una misma vertical en dos puntos distintos. ¿Representa y como función de x?
Primera ayuda
Compara las salidas para una misma entrada.
Ver solución razonada
No, porque ese x tendría dos valores de y. Puede representar otra relación, pero no una función y=f(x).
El error que debes evitar
No confundir dominio y recorrido. No prolongar una tarifa fuera del rango indicado. No omitir la unidad de una tasa o un eje.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La variable independiente se representa habitualmente en…
Solución y explicación
Respuesta: El eje horizontal. Es la entrada del modelo en la representación usual.
El dominio contextual…
Solución y explicación
Respuesta: Puede reducir el algebraico. Las cantidades disponibles o la naturaleza de la variable añaden límites.
Un logaritmo real exige argumento…
Solución y explicación
Respuesta: Positivo. Los negativos tampoco están permitidos.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué debe llevar cada eje de una gráfica aplicada?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Nombre de la variable y unidades, además de una escala clara.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuándo no conviene unir puntos de una tabla?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cuando representan categorías o cantidades discretas sin modelo continuo justificado.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué calcula f(0)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La salida para entrada cero, si pertenece al dominio.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué debe conservar una traducción entre representaciones?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La misma relación, las mismas unidades y las mismas restricciones.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Construye una tabla de cinco valores de la tarifa y comprueba que reproduce su pendiente y su coste inicial.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
Consolida el tema completo
Abrir resumen, esquema y refuerzo de Funciones elementales
Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.