Representar restricciones con inecuaciones y describir regiones admisibles en una y dos variables.
Míralo en un dibujo
La región sombreada cumple x≥0, y≥0 y x+y≤4. Sus vértices son (0,0), (4,0) y (0,4). La frontera está incluida.
Antes de seguir: ¿Es admisible el punto (3,2)?
Comprueba tu razonamiento
No: 3+2=5 supera el límite 4, aunque ambas coordenadas sean positivas.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Ecuaciones lineales; Unidades; Lectura de enunciados.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Cómo elegir el lado de una recta frontera?
Prueba un punto fuera de la recta y comprueba si satisface la inecuación.
En un minuto
- Prueba un punto fuera de la recta y comprueba si satisface la inecuación.
- El conjunto de puntos que cumplen todas las restricciones.
- Al multiplicar o dividir por un número negativo.
- Que las variables deben tomar valores enteros.
Entiende la idea
El concepto
Una inecuación representa un rango de valores, no un único resultado. Palabras como «al menos», «como máximo» o «menos de» se traducen en ≥, ≤ o <. Las condiciones de igualdad marcan si un borde se incluye. Un presupuesto máximo se suele expresar con ≤; una cantidad estrictamente superior a un umbral usa >.
Al despejar una desigualdad se pueden sumar cantidades a ambos miembros. Si se multiplica o divide por un número negativo hay que invertir el sentido. Con fracciones cuyo denominador depende de la incógnita, no se multiplica sin estudiar su signo. En una cadena de desigualdades, la misma operación se aplica a sus tres miembros para conservar la comparación.
Cómo utilizarlo sin errores
En dos variables, una desigualdad lineal ax+by≤c define un semiplano. Su frontera es la recta ax+by=c. Para decidir el lado correcto se prueba un punto que no esté en la recta, con frecuencia el origen. Si satisface la desigualdad, se conserva su lado. La región que cumple varias restricciones es su intersección. En problemas de producción o cantidades, x≥0 e y≥0 suelen ser condiciones esenciales.
Las fronteras de una región pueden ser cerradas o abiertas. Una representación continua puede admitir puntos fraccionarios, pero un contexto con objetos enteros solo acepta ciertos puntos de la cuadrícula. En este curso interesa construir y leer las restricciones; en segundo se utilizarán para optimizar funciones lineales. Ya aquí conviene comprobar que la región no sea vacía y que represente realmente los recursos descritos.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
ax+by≤c: semiplano con frontera ax+by=c. Varias restricciones simultáneas: intersección de sus regiones.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Representa x≥0, y≥0 y 2x+3y≤12.
- La recta frontera 2x+3y=12 corta los ejes en (6,0) y (0,4).
- El origen cumple 0≤12, así que se conserva el lado que lo contiene, dentro del primer cuadrante.
- La región es el triángulo cerrado de vértices (0,0), (6,0) y (0,4).
Ejemplo 2 · Resuelve 1≤(x+1)/2<4.
- Multiplicamos los tres miembros por 2, que es positivo: 2≤x+1<8.
- Restamos 1: 1≤x<7.
- El resultado es [1,7). El borde inferior se incluye y el superior no.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Resuelve 5−2x<11.
Primera ayuda
Al dividir entre −2 cambia el sentido.
Ver solución razonada
−2x<6 da x>−3. Solución: (−3,∞).
Práctica 2 · ¿Cumple (2,3) la restricción 2x+3y≤12?
Primera ayuda
Sustituye ambas coordenadas.
Ver solución razonada
2·2+3·3=13>12. El punto queda fuera de la región.
Práctica 3 · Se dispone de 20 unidades de recurso. Un producto usa 4 y otro 5. Escribe las restricciones básicas.
Primera ayuda
Define x e y como cantidades de cada producto.
Ver solución razonada
4x+5y≤20, x≥0, y≥0. Si son productos indivisibles, se añade x,y enteros. La desigualdad no obliga a consumir todo el recurso.
El error que debes evitar
No olvidar no negatividad. No pintar ambos semiplanos. No confundir usar como máximo un recurso con usarlo obligatoriamente todo.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
«Como máximo 8» se escribe…
Solución y explicación
Respuesta: x≤8. Permite el valor 8 y los inferiores.
La región factible de varias restricciones es…
Solución y explicación
Respuesta: Su intersección. Todos sus puntos deben satisfacer todas las condiciones.
La frontera de 2x+y<5…
Solución y explicación
Respuesta: No se incluye. La desigualdad es estricta.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Cómo elegir el lado de una recta frontera?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Prueba un punto fuera de la recta y comprueba si satisface la inecuación.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa región admisible?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El conjunto de puntos que cumplen todas las restricciones.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuándo se invierte una desigualdad al despejar?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Al multiplicar o dividir por un número negativo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué añade la condición de objetos indivisibles?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Que las variables deben tomar valores enteros.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Añade x≤4 al triángulo del ejemplo y localiza el nuevo corte con 2x+3y=12. Explica qué parte de la región se elimina.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.