Aplicar porcentajes encadenados, recuperar valores iniciales e interpretar índices y puntos porcentuales.
Míralo en un dibujo
Un precio de 100 aumenta un 20% hasta 120 y luego baja un 20% hasta 96. Los factores son 1,20 y 0,80; el cambio total es −4%.
Antes de seguir: ¿Por qué no recuperamos 100?
Comprueba tu razonamiento
Porque la bajada del 20% se aplica a 120, no al precio inicial.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Fracciones; Potencias; Intervalos.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Cómo se combinan variaciones sucesivas?
Multiplicando sus factores de cambio.
En un minuto
- Multiplicando sus factores de cambio.
- La base a la que se aplica.
- Dividiendo el final entre el factor total.
- No; uno divide por la base y los otros restan tasas.
Entiende la idea
El concepto
Un porcentaje expresa una razón sobre cien. Aumentar una cantidad un p % equivale a multiplicarla por 1+p/100; reducirla un p % equivale a multiplicarla por 1−p/100. El porcentaje siempre se calcula sobre una base, y esa base puede cambiar entre operaciones. Anotar cuál es evita la mayoría de errores en descuentos, variaciones de población o indicadores.
Las variaciones sucesivas se combinan multiplicando factores, no sumando porcentajes. Subir un 20 % y después bajar un 20 % no devuelve el valor inicial: el segundo cambio se aplica a una base mayor. Para recuperar el valor previo a una variación se divide entre el factor correspondiente. Una bajada del 20 % necesita después una subida del 25 % para deshacerse.
Cómo utilizarlo sin errores
Un número índice compara con un periodo base: índice=100·valor actual/valor base. Un índice 125 indica un valor un 25 % superior al de base, pero pasar de índice 125 a 150 supone un 20 % de aumento respecto al primer periodo, no un 25 %. El cambio absoluto del índice y el cambio relativo son diferentes.
Los puntos porcentuales miden la resta entre dos porcentajes. Pasar de un 40 % a un 50 % son 10 puntos porcentuales, pero un crecimiento relativo del 25 %. Los promedios de porcentajes también requieren cuidado: si los grupos tienen tamaños distintos, se ponderan por sus bases. Los ejemplos de esta lección son matemáticos y no describen tarifas ni indicadores reales.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Valor final=valor inicial·∏(1+r_i), con r_i en forma decimal. Variación relativa=(final−inicial)/inicial.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Un precio de 100 € sube un 20 % y luego baja un 20 %. Calcula el resultado.
- La subida multiplica por 1,20: el nuevo precio es 120 €.
- La bajada multiplica por 0,80: 120·0,80=96 €.
- El factor total es 0,96 y la variación conjunta −4 %. No se anulan los cambios.
Ejemplo 2 · Un precio rebajado un 20 % es 80 €. ¿Cuál era el original y qué subida necesita 80 para volver a él?
- Si P es el original, 0,80P=80, luego P=100 €.
- El incremento desde 80 hasta 100 es 20 sobre una base de 80.
- 20/80=0,25: necesita subir un 25 %.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Aplica descuentos sucesivos del 10 % y del 15 % a 200 €.
Primera ayuda
Multiplica por 0,90 y por 0,85.
Ver solución razonada
200·0,90·0,85=153 €. El descuento conjunto es 47/200=23,5 %, no 25 %.
Práctica 2 · Una tasa pasa del 30 % al 36 %. Expresa el cambio de dos maneras.
Primera ayuda
Distingue resta de porcentajes y cambio relativo.
Ver solución razonada
Aumenta 6 puntos porcentuales. Relativamente, (36−30)/30=0,20: aumenta un 20 %.
Práctica 3 · Un índice pasa de 120 a 150. Calcula la variación relativa.
Primera ayuda
Usa 120 como base del cambio.
Ver solución razonada
(150−120)/120=0,25: la subida es del 25 %. El aumento del índice es de 30 puntos.
El error que debes evitar
No sumar descuentos sucesivos. No usar una base equivocada al invertir un cambio. No confundir puntos del índice y porcentaje de variación.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Una reducción del 30 % usa el factor…
Solución y explicación
Respuesta: 0,70. Se conserva el 70 % de la cantidad inicial.
Para deshacer una subida del 10 % hay que…
Solución y explicación
Respuesta: Dividir por 1,10. La operación inversa del factor 1,10 es su división.
Pasar del 20 % al 25 % son…
Solución y explicación
Respuesta: 5 puntos porcentuales. La diferencia entre porcentajes es 5 puntos; el cambio relativo sería 25 %.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Cómo se combinan variaciones sucesivas?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Multiplicando sus factores de cambio.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué debe identificarse antes de calcular un porcentaje?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La base a la que se aplica.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se recupera el valor inicial?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Dividiendo el final entre el factor total.
Intenta responder antes de mirar.
¿Porcentaje relativo y puntos porcentuales son iguales?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No; uno divide por la base y los otros restan tasas.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Redacta dos titulares distintos para el mismo paso del 40 % al 50 %. Aclara en cada uno si hablas de puntos porcentuales o de crecimiento relativo.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.