Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Límites y continuidad
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Límites y comportamiento de funciones
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Ejercicio 1. Calcula lim(x→∞)(5x+2)/(2x+7).
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Pista: Divide numerador y denominador por x.
Solución: La expresión queda (5+2/x)/(2+7/x), que tiende a 5/2.
Ejercicio 2. Una tarifa vale 10 si x<5 y 15 si x≥5. ¿Tiene límite bilateral en 5?
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Pista: Compara el precio desde cada lado.
Solución: No. El límite izquierdo es 10 y el derecho 15; el valor en 5 es 15, pero eso no iguala los laterales.
Ejercicio 3. Calcula lim(x→2)(3x²−x+4).
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Pista: Es un polinomio.
Solución: Sustituyendo: 12−2+4=14.
Asíntotas y discontinuidades
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Ejercicio 4. Halla las asíntotas de f(x)=2+1/(x+1).
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Pista: Localiza el cero del denominador y el límite al infinito.
Solución: La vertical es x=−1 y la horizontal y=2. El numerador de la fracción nunca se anula.
Ejercicio 5. Si una función tiene límites laterales 4 y 7, clasifica la discontinuidad.
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Pista: Ambos son finitos pero distintos.
Solución: Es una discontinuidad de salto. No se elimina cambiando únicamente el valor exacto del punto.
Ejercicio 6. ¿Es correcto afirmar que ninguna gráfica puede cruzar y=L si es asíntota horizontal?
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Pista: Recuerda que la definición se refiere al infinito.
Solución: No. Puede cruzarla en puntos finitos y después aproximarse a ella. El comportamiento global debe estudiarse en cada función.
Funciones definidas a trozos
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Ejercicio 7. Calcula el coste de 14 unidades en la tarifa del primer ejemplo.
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Pista: Usa el coste de las diez primeras más el exceso.
Solución: C(14)=50+3·4=62 €. No es 14·3=42 €, porque el precio reducido solo se aplica a las cuatro adicionales.
Ejercicio 8. ¿Qué consumo produce un coste de 35 € en esa tarifa?
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Pista: Prueba la rama inicial y comprueba su intervalo.
Solución: 5x=35 da x=7, que pertenece a [0,10]. En la segunda rama, 3x+20=35 daría x=5, pero ese valor no cumple x>10 y se descarta.
Ejercicio 9. Una tarifa cobra 5x para x<10 y 4x para x≥10. ¿Es continua en 10?
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Pista: Ahora cambia el precio de todas las unidades.
Solución: El límite izquierdo es 50 y el derecho y el valor son 40. Hay un salto descendente de 10 €, no una tarifa marginal continua.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.