Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Álgebra aplicada
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Ecuaciones y sistemas en contexto
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Ejercicio 1. Dos productos cuestan juntos 11 €. El primero cuesta 3 € más que el segundo. Calcula sus precios.
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Pista: Plantea x+y=11 y x−y=3.
Solución: Sumando: 2x=14, x=7. Entonces y=4. Ambos precios cumplen las dos relaciones.
Ejercicio 2. Resuelve x+y=7 y xy=10.
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Pista: Sustituye y=7−x.
Solución: x(7−x)=10 implica x²−7x+10=0=(x−2)(x−5). Las parejas son (2,5) y (5,2).
Ejercicio 3. Un sistema de recuentos da x=4,5 e y=7,5. ¿Es correcto redondear sin más?
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Pista: Comprueba qué representan las incógnitas.
Solución: Si representan objetos indivisibles y los datos son exactos, no hay solución admisible entera. Redondear puede romper las ecuaciones. Debe revisarse el modelo o la precisión de los datos.
Inecuaciones y regiones
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Ejercicio 4. Resuelve 5−2x<11.
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Pista: Al dividir entre −2 cambia el sentido.
Solución: −2x<6 da x>−3. Solución: (−3,∞).
Ejercicio 5. ¿Cumple (2,3) la restricción 2x+3y≤12?
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Pista: Sustituye ambas coordenadas.
Solución: 2·2+3·3=13>12. El punto queda fuera de la región.
Ejercicio 6. Se dispone de 20 unidades de recurso. Un producto usa 4 y otro 5. Escribe las restricciones básicas.
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Pista: Define x e y como cantidades de cada producto.
Solución: 4x+5y≤20, x≥0, y≥0. Si son productos indivisibles, se añade x,y enteros. La desigualdad no obliga a consumir todo el recurso.
Problemas de oferta, costes e ingresos
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Ejercicio 7. Si p(q)=30−q, escribe I(q) y un dominio con precio no negativo.
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Pista: El ingreso es precio por cantidad.
Solución: I(q)=q(30−q)=30q−q². Con q≥0 y p≥0, el dominio continuo es [0,30].
Ejercicio 8. C(q)=200+6q e I(q)=10q. ¿Cuántas unidades hacen falta para no tener pérdidas?
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Pista: Resuelve I≥C.
Solución: 10q≥200+6q implica q≥50. Con 50 el beneficio es cero; por encima es positivo en el modelo.
Ejercicio 9. ¿Puede un beneficio positivo coexistir con ingresos menores que costes?
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Pista: Usa la definición B=I−C.
Solución: No dentro de esta definición. Si I<C, entonces B<0. Un error así indica que se ha cambiado el signo o confundido las magnitudes.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.