Enunciado oficial
EJERCICIO 4.1. (2,5 puntos)
Dada la función f : ℝ → ℝ definida por f(x) = (8eˣ − 4e²ˣ)/(1 + eˣ), halla la primitiva de f cuya gráfica tiene por tangente a la recta y = 2x + 12 ln(2) en el punto de abscisa x = 0.
(Sugerencia: puedes hacer el cambio eˣ = t).
Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Transcripción del enunciado oficial de Matemáticas II 2026; las fórmulas se presentan con formato web. Las soluciones, pistas y esquemas son propios de Domina la Materia.
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Con t = eˣ se cumple dx = dt/t. Después de simplificar la fracción, integra y usa el valor de la recta en x = 0 para fijar la constante.
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Desarrollo
Paso 1. Hacer el cambio de variable
Con t = eˣ, dt = t dx. Entonces ∫[(8eˣ − 4e²ˣ)/(1 + eˣ)] dx = ∫(8 − 4t)/(1 + t) dt.
Paso 2. Integrar
(8 − 4t)/(1 + t) = 12/(1 + t) − 4. Una familia de primitivas es F(x) = 12 ln(1 + eˣ) − 4eˣ + C.
Paso 3. Imponer la tangente
La recta y = 2x + 12 ln 2 indica F(0) = 12 ln 2. Como F(0) = 12 ln 2 − 4 + C, se obtiene C = 4. Además F′(0) = f(0) = 2, la pendiente exigida.
Resultado: F(x) = 12 ln(1 + eˣ) − 4eˣ + 4.
Qué valora la pauta oficial. Realizar la primitiva y comprobar tanto el punto como la pendiente de la tangente.
Comprobación
La derivada de F(x) = 12 ln(1 + eˣ) − 4eˣ + 4 coincide con f(x); además F(0) = 12 ln 2 y F′(0) = 2.
Errores frecuentes
La pendiente de la tangente no fija por sí sola la constante de integración. Comprueba también que la primitiva pasa por el punto dado por la recta.
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