Enunciado oficial
EJERCICIO 3.1. (2,5 puntos)
Considera el sistema
3x − y = a²
(1 − a)y + 2z = 0
4y + (3 − a)z = a − 5
a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de a.
b) [0,75 puntos] Para a = 0 resuelve el sistema, si es posible.
Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Transcripción del enunciado oficial de Matemáticas II 2026; las fórmulas se presentan con formato web. Las soluciones, pistas y esquemas son propios de Domina la Materia.
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La primera ecuación permite hallar x al final. Discute antes el bloque de y,z mediante su determinante y comprueba por separado los valores que lo anulan.
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Desarrollo
Paso 1. Identificar los valores críticos
La matriz de coeficientes tiene determinante Δ = 3[(1 − a)(3 − a) − 8] = 3(a − 5)(a + 1). Si a ≠ −1 y a ≠ 5, Δ ≠ 0 y hay solución única.
Paso 2. Estudiar a = −1
Las dos últimas ecuaciones quedan 2y + 2z = 0 y 4y + 4z = −6. Sus lados izquierdos son proporcionales, pero los derechos no: el sistema es incompatible.
Paso 3. Estudiar a = 5
Las dos últimas ecuaciones quedan −4y + 2z = 0 y 4y − 2z = 0. Son equivalentes: hay infinitas soluciones. Con y = t, z = 2t y x = (25 + t)/3.
Paso 4. Resolver para a = 0
De y + 2z = 0 y 4y + 3z = −5 se obtiene z = 1, y = −2. En 3x − y = 0 resulta x = −2/3.
Resultado: a ≠ −1,5: solución única; a = −1: ninguna; a = 5: infinitas, ((25+t)/3,t,2t); a = 0: (−2/3,−2,1).
Qué valora la pauta oficial. Calcular el determinante, localizar los valores críticos y discutir la compatibilidad en cada caso.
Comprobación
El determinante de la matriz completa es 3(a − 5)(a + 1). Para a = 0, sustituir (x,y,z) = (−2/3,−2,1) satisface las tres ecuaciones.
Errores frecuentes
Un determinante cero no implica automáticamente infinitas soluciones: compara las ecuaciones en a = −1 y en a = 5. El término de la primera ecuación es a².
Sigue practicando
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