Enunciado oficial
EJERCICIO 2. (2,5 puntos)
Considera los puntos A(1, 2, 0), B(2, m, 1), C(3, 4, 2) y D(1, −1, m).
a) [1 punto] Halla los valores de m para los cuales los puntos anteriores son coplanarios.
b) [1,5 puntos] Para m = 1, calcula el área del triángulo de vértices A, B, C y el volumen del tetraedro de vértices A, B, C, D.
Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Transcripción del enunciado oficial de Matemáticas II 2026; las fórmulas se presentan con formato web. Las soluciones, pistas y esquemas son propios de Domina la Materia.
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Para la coplanaridad usa el producto mixto de AB, AC y AD. El área requiere medio módulo del producto vectorial; el volumen, un sexto del producto mixto absoluto.
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Desarrollo
Paso 1. Formar los vectores desde A
AB = (1, m − 2, 1), AC = (2, 2, 2) y AD = (0, −3, m). Cuatro puntos son coplanarios si y solo si el producto mixto [AB, AC, AD] vale cero.
Paso 2. Resolver la coplanaridad
det(AB, AC, AD) = −2m(m − 3). Por tanto, m = 0 o m = 3.
Paso 3. Calcular el área cuando m = 1
AB = (1, −1, 1), AC = (2, 2, 2). AB × AC = (−4, 0, 4), de norma 4√2. El área de ABC es la mitad: 2√2 unidades cuadradas.
Paso 4. Calcular el volumen cuando m = 1
El valor absoluto del producto mixto es |−2·1·(1 − 3)| = 4. El volumen del tetraedro es 4/6 = 2/3 unidades cúbicas.
Resultado: coplanaridad para m = 0 y m = 3; con m = 1, área(ABC) = 2√2 y volumen(ABCD) = 2/3.
Qué valora la pauta oficial. Justificar la coplanaridad mediante determinante y aplicar producto vectorial y mixto con el factor geométrico correspondiente.
Comprobación
Para m = 1, |AB × AC| = 4√2 y |[AB, AC, AD]| = 4; al aplicar los factores 1/2 y 1/6 se obtienen 2√2 y 2/3.
Errores frecuentes
El determinante nulo responde al apartado a); en b) m está fijado en 1 y los cuatro puntos ya no son coplanarios. No olvides los factores geométricos.
Sigue practicando
Repasar la lección: Vectores, producto escalar, vectorial y mixto →