Enunciado oficial
EJERCICIO 3.2. (2,5 puntos)
Considera la matriz A = αβ12αβ34α que cumple |A| = −2.
a) [1,5 puntos] Calcula -3−4−αα − 2β − α1 − β84α4β.
b) [1 punto] Calcula |A⁻¹(Aᵗ)²A|.
Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Transcripción del enunciado oficial de Matemáticas II 2026; las fórmulas se presentan con formato web. Las soluciones, pistas y esquemas son propios de Domina la Materia.
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Denomina F₁, F₂ y F₃ a las filas de A. Las nuevas filas son −F₃, F₁ − F₂ y 4F₂; aplica propiedades de determinantes.
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Desarrollo
Paso 1. Relacionar las filas de la primera matriz con A
Si las filas de A son F₁,F₂,F₃, las de la matriz solicitada son −F₃, F₁ − F₂ y 4F₂. La permutación (F₃,F₁,F₂) es par; sustituir F₁ por F₁ − F₂ no altera el determinante.
Paso 2. Aplicar los factores escalares
El factor total es (−1)·4 = −4. Por tanto, el primer determinante es −4 det(A) = −4(−2) = 8.
Paso 3. Calcular el determinante del producto
det[A⁻¹(Aᵗ)²A] = det(A)⁻¹ · det(Aᵗ)² · det(A) = det(A)² = (−2)² = 4. Existe A⁻¹ porque det(A) ≠ 0.
Resultado: apartado a: 8; apartado b: 4.
Qué valora la pauta oficial. Usar correctamente linealidad por filas, permutaciones, producto, inversa y traspuesta.
Comprobación
La permutación (F₃,F₁,F₂) es par y el factor de escala es −4: el primer valor es 8. En b), det(A⁻¹) det(Aᵀ)² det(A) = det(A)² = 4.
Errores frecuentes
No intentes despejar α y β: el dato det(A) basta. Al multiplicar matrices, multiplica sus determinantes; transponer no cambia el determinante.
Sigue practicando
Repasar la lección: Determinantes y propiedades →